运用圆锥曲线第二定义解题.doc

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1、运用圆锥曲线第二定义解题圆锥曲线第二定义：动点M与定点F的距离和它到直线的距离的比为e，则当01时，动点M的轨迹是双曲线。一般来说，凡与圆锥曲线上点、焦点、准线、离心率有关的问题，经常考虑第二定义，因而，运用圆锥曲线第二定义解题是最基本、最一般的方法，且圆锥曲线第二定义具有丰富的解题功能，在解题中不仅起到简捷明快的作用，而且能优化解题，下面举例加以说明。一、求轨迹方程例1、求经过定点M(1,2)，以y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程。解：由题意，知椭圆在y

2、轴的右侧，如图1所示，设为椭圆的左顶点，为椭圆的左焦点，由椭圆第二定义有：即又∵点M（1，2）在椭圆上，即有，简化得故，所求椭圆的左顶点的轨迹方程为二、求最值问题例2、已知定点A（3，2），P是双曲线上的动点，F是右焦点，当取最小值时，求P点的坐标。分析：本题若按照常规方法建立目标函数，再求最值，则极其繁琐。观察焦半径的系数与离心率的关系，借助于第二定义转化，并结合平面几何知识求解则相对容易许多。解：设P到右准线的距离为d，则,,这个问题转化为在双曲线上求一点P，使P到点A的距离与到右准线的距离和和最小。如图2即直线PA垂直于准线时合题

3、意。3此时的最小值为，且例3、已知椭圆，过焦点不垂直于x轴和弦交椭圆于A、B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，求

4、NF

5、：

6、AB

7、的值。解：如图3，由A、B向准线引垂线AA’，BB’，由A向BB’作垂线AD，D为垂足，则①由定义知同理②由①②得∴三、求弦长例4、斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长。解：如图4，由抛物线定义可知，

8、AF

9、等于点A到抛物线准线的距离

10、AA’

11、，设，则，同理，于是得由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F（1，0），所以直线AB的方程为①将方程①代入抛物线方程，得于是

12、

13、AB

14、=6+2=8四、求范围例5、以双曲线的右焦点F为焦点，右准线为准线的椭圆，截直线3所得的弦恰被x轴所平分，求k的取值范围。解：由双曲线方程得∴椭圆的焦点为，右准线为设椭圆上任意一点,离心率为，则即由得又因截得的弦恰被x轴所平分∴关于y的方程的两根之和为零，即∴即又∵，∴∴例6、已知双曲线，左右焦点分别为，左准线为，若双曲线左支上存在一点P，使得是P到的距离d与的等比中项，求离心率e的取值范围。解：由题意有由双曲线的第二定义可知，即①再由双曲线第一定义知②由①②有在中有，∴由，从而得∴又∵故e的范围为3