第2章--平稳时间序列模型.ppt

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1、第2章平稳时间序列模型2.1随机差分方程模型随机变量的概念所谓y为一个随机变量，是指该变量的取值是随机的，且存在某种规律性，遵守某个概率分布。离散型随机变量：指y的取值是离散的，其概率分布为特别，当y以概率1取某个值a（即）时，则称它为确定性变量。连续型随机变量：指y的取值是连续的，其概率分布为随机变量可以为多元（即把上述表达看成多元），其概率分布是（离散或连续的）多元函数，称之为联合概率分布。（选自WalterEnders的书“AppliedEconometricTimeSeries”）随机过程的概念设yt为一个随机变量，则当t离散

2、变化时，称{yt}为离散参数随机过程或随机序列；当t连续变化时，称{yt}为连续参数随机过程。若对于任意的参数t，yt都为离散型随机变量，则称{yt}为离散型随机过程；若对于任意的参数t，yt都为连续型随机变量，则称{yt}为连续型随机过程。对随机过程{yt}进行一次观测或试验，就得到{yt}的一个实现值，称它为关于t的一个样本函数（离散或连续）。例1：设yt为第t次轮盘赌的点数，其概率就等于该点数在轮盘中所占面积的比例，即{yt}是一个随机过程。随机差分方程模型（或时间序列模型）例2：假设美联储的货币供给目标每年以速度1.03%增长

3、，即于是，给定初始条件，就得到特解其中，=t年货币供给的目标值；=基期货币供给目标。又假设实际的货币供给为mt，它与目标值不一定相等。假设在第t-1期的期末有mt-1美元进入t期，则在t期的期初的货币供给为mt-1美元，所以，目标货币供给与实际货币供给之差为。另外，假设实际货币供给的改变量为目标货币供给与实际货币供给之差的r倍（0

4、变量的（线性）差分方程。若{et}的分布已知，则{mt}的分布也已知且可以计算。在得到{mt}的前t期观测值之后，就可以预测mt+1,mt+2,…。例如，mt+1的期望值或预测值为把式（2.a）代入到式（2.1），就得到随机差分方程（2.a）白噪声过程{et}称为白噪声过程，如果{et}中每个元素的均值都为0，方差都相同，且相互之间没有自相关，即通常用{et}代表白噪声过程，用s2代表该过程的方差。若涉及两个或两个以上白噪声过程，则用{e1t}和{e2t}等来表示。当{et}是一个正态白噪声过程时，则et,…,et,…相互独立，且同服

5、从正态分布N(0,s2)。移动平均考虑用白噪声过程{et}来构造时间序列的推动过程称它为q阶移动平均，记作MA(q)。例：用{et}表示第t次抛硬币的结果，正面为1美元，反面为－1美元。则t时的前4次平均结果为（2.3）当有两个或两个以上的bi不为零，则{xt}一般不再是白噪声过程。实际上一般不为零。2.2自回归移动平均ARMA模型自回归AR模型线性差分方程称它为p阶自回归模型，记作AR(p)。自回归移动平均ARMA模型将AR(p)和MA(q)合并，得到ARMA(p,q)模型称它为p阶自回归和q阶移动平均模型，这里。（2.5）在ARM

6、A模型中，p,q允许取无穷大。当式（2.5）的特征根至少有1个大于等于1时，则称{yi}为积分过程，此时，式（2.5）称为自回归求积移动平均模型（ARIMA），记作ARIMA(p,q)。利用滞后算子，可得式（2.5）的表达式其解可以表示为p=1,q=0时，对于AR(1)模型，我们已在第1章获得结果（2.6）式（2.6）解的表达式会生成MA(∞)过程，其关键是展开式是否收敛，或随机差分方程是否稳定，或时间序列{yi}是否平稳。该平稳性条件等价于多项式的根在单位圆之外。2.3平稳性例：生产过程的质量控制图。某车间对4台机器在加工过程中每小

7、时生产的产品取样，结果画在下图上例如，对第5，10和15小时分别取样，则得到均值分别为4.61，5.14和5.03。同样可以计算方差等。用表示机器在t时的产量，则其均值为若时间序列是平稳的，则根据一个观测得到的实现值集合和由此估计出的均值、方差和自相关值，可以用来预测或充分逼近长期时间平均。例如，只观测机器1在20个时段的产量，并已知产量是平稳的，则可以用来估计或预测产量的平均值。用这个方法估计时，可假设每一时期的均值相等，方差可能变化。定义：对所有的t,t－s和j，若随机过程满足其中，均为有限常数。则称上述随机过程为协方差平稳的。式

8、（2.9）称之为自协方差。协方差平稳过程又称弱平稳、二阶平稳或广义平稳过程。通常只考虑协方差平稳过程。（2.9）由于，因此的自相关系数为两个不同序列的协方差或相关系数又称之为互协方差或互相关系数。AR(1)过程的平稳性条