《现代精算风险理论》课件汇总个体风险模型

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1、第2章个体风险模型本章讨论保险人风险组合的总索赔额的分布函数。6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com总索赔（随机变量的和）的分布要用卷积，因此非常麻烦。常用到均值，方差，矩母函数，特征函数，母函数等。有别于中心极限定理的近似方法。风险随机变量往往不能用纯离散和连续随机变量来刻画。因此常用Riemann-Stieltjes积分。2.1引言6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com2.2混合分布和风险本节我们讨论保险风险的一些实例.由于纯离散随机变量和纯连续

2、随机变量都不能描述这种风险，所以我们必须先拓展分布函数类．6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com根据概率论的知识，任何一个分布函数都满足6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com离散型的随机变量6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com连续型的随机变量6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com在概率论中所学到的所有的随机变量要么为离散型要么为连续型，几乎无一例外．然而保险领域却不总是这样．许多被用来模拟保险理赔

3、支付的分布函数有连续增长的部分，同时也有离散的、正的跳跃部分．6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com设Z代表某个保单的理赔支付，则有三种情况：保单合同无理赔，因此Z=0.保单合同的索赔数额大于最大的保险金额M，则Z=M.保单合同产生正常的索赔数额，则0

4、00jss.com6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.comRiemann-Stieltjes积分混合随机变量的分布对于混合随机变量其分布为：6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com6/14/2021中华

5、精算师考试网www.1000jss.com因此假设理赔支付X=400和X=200的概率分别为0.05和0.15，则有6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com例2.2.4（有索赔，且索赔额服从指数分布）假设风险X有如下分布：（1）X的均值是多少？（2）对于风险厌恶系数为a=0.01且具有指数效用函数的人，愿意为风险X支付的最大保费为多少？6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com（1）6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com（2）如果

6、被保险人使用的是参数为a=0.01的指数效用函数，则由（1.21）得到最大保费：6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com同样的，X可以表示成X=IB，其中I表示理赔支付次数(0或l),B代表理赔支付．因此，6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com为求X的分布函数F，我们有由此得6/14/2021中华精算师考试网www.1000j

7、ss.com6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com利用如下众所周知的方差分解准则，形如IB的风险方差可以通过给定I,B的条件分布来计算：6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com2.3卷积在个体风险模型中，我们感兴趣的是多个保单总理赔S的分布：6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com首先来计算X+Y的分布

8、函数：连续形式的全概率公式6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com其中求和是取遍所有使得的x。6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com如果X和Y是连续型的，则6/14/2021中华精算师考试网www.1000jss.com为求X+Y+Z的分布函数，我们在做卷积运算时所采用的卷积次序无关紧要n个独立同分布的随机变量之和的分布函数是共同边际分布F的n重卷积，记为6/14/2021中华精算师考试网www.1000