第4章-向量空间[修改].ppt

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1、第四章向量空间4.1向量及其线性组合4.2向量组的线性相关性4.3向量组的秩4.4矩阵的秩4.5向量空间4.6线性方程组解的结构4.1向量空间引例:几何中的向量把有方向的线段叫做向量向量由一个三元数组唯一确定。向量的加法(平行四边形法则)向量的数乘建立坐标系的目的就是把向量的运算转化为数(坐标)的运算.推广：我们把三维中的向量推广到n维，得到n维空间中的向量定义n个数组成的有序数组或称为一个n维行向量或n维列向量，其中称为该向量的第i个分量。行向量和列向量统称为向量。分量全为实数(复数)的向量称为实(复)向量，n维实(复)向量的全体记为无特殊说明，以后所指向量都为实列向量例4.1.1称单位矩

2、阵的列向量为标准坐标向量。设利用标准坐标向量运算往往非常方便，见下例例4.1.2设证明证把按列分块为则定义若干同维数的列向量(或行向量)所组成的集合叫做向量组例如:m×n的矩阵A全体列向量是含n个m维列向量的向量组,称为A的列向量组;全体行向量是含m个n维的行向量组,为A的行向量组.列向量组行向量组向量的线性运算向量是矩阵的特例，规定向量的相等、加、减、数乘运算按矩阵的相应运算。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。在Rn中的向量满足以下8条规律：其中都是n维向量，k、l为实数。对于向量组,表达式又称向量可由向量组A线性表示.通常写成向量的线性表示为A的一个线性组合，为其组合系数。如果

3、是的一个线性组合，即存在使得例4.1.3有所以，称是的线性组合，或可以由线性表示。1°零向量可由任一组向量线性表示。中每个向量都可由向量组本身2°向量组线性表示，注意3°任一n元向量都可由n元单位向量组线性表示，即想一想n元线性方程组可以用向量形式表示为a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm====++++++++++++(1)其中对应齐次方程组可用向量形式表示为,,…，，线性方程组的向量表示向量可由向量组线性表示存在数使即有解学会这种转换就可以了!注意:符号混用另外,如果解唯一,

4、则表示方法是唯一的.如果……(按定义)(转换为方程组)方程组定理4.1.1例4.1.4解设，且表示方法有无穷多种。方程组与矩阵B相对应的同解方程组为则当c=1时，当c=-2时，解记不能由A线性表示;能由A唯一表示;能由A有无穷多种表示,并求所有表示方法.设向量组A:问为何值时,向量只需讨论解的情况.具体解方程组过程略。时,方程组无解,不能由A表示.时,方程组有唯一解,可由A唯一表示.例4.1.5时,方程组有无穷多解,可由A无穷多种表示.通解为所有表示方法:其中k为任意实数.即定义如果向量组中的每一个向量都可以被向量组线性表示，即存在常数则称向量组可由向量组线性表示。如果两个向量组可以相互线性

5、表示，则称这两个向量组等价。记作利用矩阵的分块乘法(2)又可以写成如下矩阵乘法形式(2)记则矩阵B的列向量组可以由矩阵A的列向量组线性表示就是存在矩阵C使得B=AC。由此我们得到下面的结论定理4.1.1矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示的充要条件是矩阵方程AX=B有解。矩阵B的行向量组可由矩阵A的行向量组线性表示的充要条件是矩阵方程XA=B有解。定理4.1.2行等价矩阵的行向量组等价证：设A与B行等价矩阵，即，也就是存在可逆矩阵P使得B=PA，从而，由定理4.1.1可知，B的行向量组可由A的行向量组线性表示，A的行向量组可以由B的行向量组线性表示，所以A和B的行向量组等价。例4.1

6、.7矩阵A用初等表换化成最简阶梯矩阵B如下记A的行向量组为B的非零行向量组为则向量组与行向量组等价，即列向量组与列向量组等价4.2向量组的线性相关性引例4.2.1看看三维空间中的向量(如图)三个向量共面三个向量无法相互线性表示，三个向量异面引例4.2.2考察线性方程组(4.2.1)上面4个方程有如下关系：这说明方程组中第③和第④个方程是多余的,可以去掉.即方程组与下面方程组是同解的。考察原方程组中增广矩阵的行向量组(4.2.2)知即可以由线性表示。例1如果能否找到一组不全为零的数定义4.2.1如果存在不全为零的数使得则称该向量组线性相关.否则,如果设只能推出则称该向量组线性无关.线性相关无关

7、的判别定理4.2.1下面三个命题等价(3)齐次线性方程组有非零解推论4.2.1下面三个命题等价(1)向量组线性无关；(2)如果有一组数使得则必有(3)齐次线性方程组线性相关无关的判别只有零解例4.2.1判断向量组的线性相关性。解设记把A用初等行变换变为阶梯形得知方程只有零解，所以原向量组线性无关。注由于A是方阵，也可以由

8、A

9、=-6得知方程组只有零解设n阶方阵，由上述定理可知，A是可逆矩阵的充要条件是方程组只