高等数学全套课件共10章62节之8-2.ppt

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1、一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分§8.2二重积分的计算法上页下页铃结束返回首页一、利用直角坐标计算二重积分如果区域D可以表示为不等式j1(x)yj2(x),axb,则称区域D为X型区域.X型区域与Y型区域如果区域D可以表示为不等式y1(y)xy2(y),cyd,则称区域D为Y型区域.有的区域既是X型区域又是Y型区域,而有的区域既不是X型区域又不是Y型区域,但它总可以表示为若干个X型区域和Y型区域的并.下页设立体在x轴上的投影区间为[a,b],立体内垂直于x轴的截面面积为A(x).立体的体积元素为立体的体积为平行截

2、面面积为已知的立体的体积A(x)dx.提示zf(x,y)为顶,以区域D为底的曲顶柱体的体积.提示截面是以区间[j1(x0),j2(x0)]为底、以曲线zf(x0,y)为曲边的曲边梯形.提示根据平行截面面积为已知的立体体积的求法.设f(x,y)0,D={(x,y)

3、j1(x)yj2(x),axb}.二重积分的计算对于x0[a,b],曲顶柱体在xx0的截面面积为曲顶柱体体积为下页即注计算一般二重积分只需取消f(x,y)0的限制.下页设f(x,y)0,D={(x,y)

4、j1(x)yj2(x),axb}.二重积分的计算对

5、于x0[a,b],曲顶柱体在xx0的截面面积为曲顶柱体体积为如果D是X型区域:D={(x,y)

6、j1(x)yj2(x),axb},则上式也可以记为如果D是Y型区域:D={(x,y)

7、y1(y)xy2(y),cyd},则下页二重积分的计算先对x后对y的二次积分先对y后对x的二次积分如果D是X型区域:j1(x)yj2(x),axb,则计算二重积分的步骤如果D是Y型区域:y1(y)xy2(y),cyd,则(1)画出积分区域D的草图.(2)用不等式组表示积分区域D.(3)把二重积分表示为二次积分:(4)计算二次积分.下页解

8、画出区域D.方法一,把D看成是X型区域:于是D:1x2,1yx.围成的闭区域D:1y2,yx2.解：方法二,把D看成是Y型区域:围成的闭区域于是分析积分区域可表示为X型区域D:1y1,1x

9、区域可表示为DD1+D2,其中积分区域也可表示为D:1y2,y2xy2.所围成的闭区域.提问哪个二次积分容易计算？下页解积分区域可表示为D:1y2,y2xy2.所围成的闭区域.提示:由对称性,所求体积是第一卦限部分体积的8倍.例4求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.解设这两个圆柱面的方程分别为x2y2R2及x2z2R2.所求立体的体积为下页例4求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.解设这两个圆柱面的方程分别为x2y2R2及x2z2R2.所求立体的体积为课堂练习习题7—2（1

10、）03－１１011D02解：原积分区域为Y型区域画出积分区域写成X型区域4D作业：习题7—2（1）1、（2），（6）2、（2）3、（1）