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1、浙江历年理科高考题之立体几何大题（教师版）1、（2005年）18．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．(Ⅰ)当k＝1时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；2(Ⅱ)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？解：方法一：(Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC中点，OD∥PA又PA平面PAB，OD∥平面PABQABBC，OAOC，OAOBOC，(Ⅱ)又QOP平面ABC，PAPBPC.取BC中点E，连结PE，则BC平面POE作OFPE于F，连结DF，则OF平面PBCPODF是OD与平面PBC所成
2、的角.又OD∥PA，PA与平面PBC所成的角的大小等于ODF，DF在RtODF中，sinODFOF210,AOCOD30210EPA与平面PBC所成的角为arcsin.B30（Ⅲ）由(Ⅱ)知，OF平面PBC，∴F是O在平面PBC内的射影∵D是PC的中点，若点F是PBC的重心，则B，F，D三点共线，∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，QOBPC,PCBD,PBPC，即k1反之，当k1时，三棱锥OPBC为正三棱锥，∴O在平面PBC内的射影为PBC的重心方法二：QOP平面ABC，OAOC,ABBC，OAOB,OAOP,OBOP.以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直
3、角坐标系Oxyz（如图）第1页共20页设ABa,则A2a,0,0,B0,2,0,C2,0,0，222zP设OPh，则P0,0,h(Ⅰ)QD为PC的中点，uuur2a,0,1hAOD，42xuuuruuur1uuuruuur2,OD∥平面PAB又PA2a,0,hODPA,OD//PA，2(Ⅱ)Qk1，即PA2a,h7a,uuur2a,0,7a，PA2222r1uuurruuurr1,1,，PAn可求得平面PBC的法向量n7cosPA,nuuurr
4、PA
5、
6、n
7、DOCBy210，30，则sinuuurr
8、210设PA与平面PBC所成的角为
9、cosPA,n，30PBC的重心
10、G2a,2a,1huuur2a,2a,1h（Ⅲ），OG，663663QOG平面PBC,uuuruuuruuur0,2a,h,uuuruuur1a21h20,h2a，OGPB，又PBOGPB2632PAOA2h2a，即k1，反之，当k1时，三棱锥OPBC为正三棱锥，∴O在平面PBC内的射影为PBC的重心2、（2006年）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.(Ⅰ)求证：PB⊥DM;(Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角。解：方法一：（I）因为N是PB的中点，PA=
11、AB，所以AN⊥PB。因为AD平面PAB，所以AD⊥PB，从而PB⊥平面ADMN，因为DM平面ADMN，所以PB⊥DM（II）取AD的中点G，连结BG、NG，则BG∥CD，第2页共20页所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等。因为PB⊥平面ADMN，所以∠BGN是BG与平面ADMN所成的角。BN10在RtBGN中，sinBGN5BG故CD与平面ADMN所成的角是arcsin10。5方法二：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-XYZ，设BC=1，则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），M（1，1，1），D（0，
12、2，0）2uuruuuruuuuur30（Ⅰ）因为）·（,1)PBPBDM,1)(2,0,0,2)(1,2)(1,22所以PB⊥DM。uuuruuur(2,0,2)(0,2,0)0（Ⅱ）因为PBAD，所以PB⊥AD，又因为PB⊥DM，所以PB⊥平面ADMN，因此PBDC的余角即是CD与平面ADMN所成的角。PBDC10因为cosPBDC=PBDC5所以CD与平面ADMN所成的角为arcsin1053、（2007年）19．（本题14分）在如图所示的几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，且ACBCBD2AE，M是AB的中点．D（I）求证：CMEM；E（II）求C
13、M与平面CDE所成的角．解：方法一：（I）证明：因为ACBC，M是AB的中点，所以CMAB．CA又EA平面ABC，所以CMEM．M（II）解：过点M作MH平面CDE，垂足是H，连结CH交延长交ED于点F，B第3页共20页连结MF，MD．∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角．因为MH平面CDE，所以MHED，D又因为CM平面EDM，所以CMED，EEH则ED平面CMF，因此EDMF．设EAa，BDBCAC2a，在直角梯形ABDE中，AB22a，M是AB的中点，ACM所以DE3a，EM3a，MD6a，B得△EMD是直角三角形，其
