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《高考数学大二轮专题复习：第二编立体几何中的向量方法.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、新高考二轮复习·数学(新课程版)第3讲 立体几何中的向量方法「考情研析」 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为线面角、二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.核心知识回顾1.线、面的位置关系与向量的关系设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)．(1)l∥m⇒a∥b⇔a＝kb⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2；(2)l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1a2＋b1
2、b2＋c1c2＝0；(3)l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0；(4)l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3；(5)α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4；(6)α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.2．三种空间角与空间向量的关系(1)线线角：设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成的角θ满足cosθ＝.(2)线面角：设l是斜线l的方向向量，n是平面α的法向量，则斜线l与平面α所成的角θ满足sinθ＝.(3)二面角新高考二轮复习·数学(新课程版)①如
3、图(Ⅰ)，AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉；②如图(Ⅱ)(Ⅲ)，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝－cos〈n1，n2〉或cos〈n1，n2〉．热点考向探究考向1 利用向量证明平行与垂直例1 (1)(多选)(2020·山东省莱西一中、高密一中、枣庄三中高三模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝2，P，Q，R分别是AB，BB1，A1C上的动点，下列结论正确的是( )A．对于任意给定的点P，存在点Q使得D1P⊥CQB．对于任意给定的点
4、Q，存在点R使得D1R⊥CQC．当AR⊥A1C时，AR⊥D1RD．当A1C＝3A1R时，D1R∥平面BDC1答案 ABD新高考二轮复习·数学(新课程版)解析 如图所示，建立空间直角坐标系，设P(2，a,0)，a∈[0,2]，Q(2,2，b)，b∈[0,2]，设＝λ，得到R(2－2λ，2λ，2－2λ)，λ∈[0,1].＝(2，a，－2)，＝(2,0，b)，·＝4－2b，当b＝2时，D1P⊥CQ，A正确；＝(2－2λ，2λ，－2λ)，·＝2(2－2λ)－2λb，取λ＝时，D1R⊥CQ，B正确；由AR⊥A1C，则·＝(－2λ，2λ，2－2λ)·(－2，2，－2)＝4λ＋12
5、λ－4＋4λ＝0，解得λ＝，此时·＝·＝－≠0，C错误；由A1C＝3A1R，则R，＝，设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则解得n＝(，－1，)，故·n＝0，故D1R∥平面BDC1，D正确．故选ABD.(2)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．①设F是棱AB的中点，证明：直线E1E∥平面FCC1；②证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.证明 如图，过点D作AB的垂线交AB于点G，则以点D为原点，DG，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴
6、建立空间直角坐标系，易得A(，－1，0)，B(，3,0)，C(0，2,0)，E1(，－1，1)，E，F(，新高考二轮复习·数学(新课程版)1,0)，D1(0,0,2)，B1(，3,2)，C1(0,2,2)．①＝(0,0,2)，＝(，－1,0)．设平面FCC1的法向量n1＝(x，y，z)，则令x＝1，得n1＝(1，，0)，又＝，故·n1＝0，又E1E⊄平面FCC1，所以E1E∥平面FCC1.②＝(，－1，－2)，＝(0,2，－2)，设平面D1AC的法向量n2＝(a，b，c)，由得令b＝1，得n2＝(，1,1)．同理易得平面BB1C1C的一个法向量n3＝(1，－，0)，因
7、为n2·n3＝0，故平面D1AC⊥平面BB1C1C. 利用空间向量证明平行与垂直的方法步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系．(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．(3)通过空间向量的运算研究平行、垂直关系．新高考二轮复习·数学(新课程版)(4)根据运算结果解释相关问题．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面PAD；(3)平面PCD⊥平面PA
