第5章-导热数值解法.ppt

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1、第5章导热问题的数值解法航空航天工程热物理研究所第5章导热问题的数值解法工程技术中常遇到几何形状或边界条件复杂的导热问题，由于数学上的困难，目前还无法得出其分析解。另一方面，近几十年来，随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法得到了日益广泛的应用。导热问题的数值计算方法包括：有限差分法、有限元法、边界元法。本章介绍物理概念明确、实施方法简便的有限差分法。5.0基本思想和求解步骤一、基本思想对物理问题进行数值求解的基本思想可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场（如导热

2、物体的温度场）用有限个离散点上的值的集合来代替通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值二、求解步骤结合二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题，说明求解过程的各个步骤。1.建立控制方程及定解条件其四个边界条件分别为第一类和第三类边界条件。2.区域离散化如图步长网格线的交点为节（结）点节点所代表的小区域称为控制体（控制容积）3.建立节点物理量的代数方程，即离散方程4.设立迭代初场。代数方程的求解方法有两大类：直接解法、迭代解法。采用迭代解法时，需要对被求的物理

3、场预先假定一个解，称为初场，并在求解的过程中不断改进5.求解代数方程6.解的分析框图改进初场否若：、，则求收敛否解的分析是建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值求解代数方程5.1二维稳态导热（无内热源）一、区域离散化区域的划分取决于几何上的方便、所要求的计算精度节点↑，网格密，计算精度↑，但计算时间长称为节点，代表了这一单元（温度、物性）。二、内部节点离散方程的建立1.泰勒级数展开法对节点(m+1,n)及(m-1,n)分别写出函数t对(m,n)的泰勒

4、级数展开式：二、内部节点离散方程的建立1.泰勒级数展开法(A)+(B)二、内部节点离散方程的建立1.泰勒级数展开法(D)代入二维、稳态、无内热源、常物性、直角坐标系下的导热微分方程(2-20)if，则：二、内部节点离散方程的建立2.热平衡法（控制容积法）节点实际上代表一个小控制体，在它的四周有四个控制体，用节点和表示二、内部节点离散方程的建立对于无内热源、稳态导热，由热平衡原理4个相邻控制体向内部节点（）代表的控制体的导热量=0if，则：3.可求解的条件未知数数目=方程组数目对于个节点，其中个内部节

5、点。三、边界节点离散方程的建立边界上温度之已知，即给定第一类边界条件则为内部节点，可全部由内部节点方程求出。对每一个节点，列一个内部节点方程。个内部节点可列出个方程可解边界上温度未知，如第二、三类边界条件或绝热边界条件，须补充列出边界节点方程。三、边界节点离散方程的建立平直边界第三类边界条件绝热平直边界外部角点、内部角点(1)平直边界第三类边界条件if，则：若只考虑（G）x向，则：if，则：if为第二类边界条件，已知边界上热流密度为，则用if有内热源，则须考虑(2)绝热平直边界If，则：此式为式(

6、H)在时的特例。(3)外部角点、内部角点（同理）若只考虑（G）x向，则：根据对称性，有：四、所有方程联立求解，可求出所有温度值代数方程的求解方法有两大类：直接解法、迭代解法。采用迭代解法时，需要对被求的物理场预先假定一个解，称为初场，并在求解的过程中不断改进。五、解法（解线性代数方程组）1、以下面一线性代数方程组为例联立求解用（高斯—赛德尔迭代法）当，即则可表示为2求解步骤(1)设初始值，（带括号的上角码为迭代次数序号）(2)用，值介方程式(a)，得(5)用，值介方程式(a)，得(3)用，值介方程

7、式(b)，得(4)用，值介方程式(c)，得照此逐次计算下去。对于的第次近似值，可用同项形式表示如下：只要该方程的解确实存在，则采用高斯—赛德尔迭代法必能求得解。计算过程的终止(a)绝对差值:(b)相对差值：5.2非稳态导热数值解非稳态导热与稳态导热问题数值解法的基本思想是一样的但因非稳态导热时，物体的温度既随空间坐标而变，又随时间而变，因此非稳态导热问题的求解域由空间坐标和时间坐标构成。空间区域离散化过程经历的时间域离散化将划分成许多（如个）小的时间区间，则对一维非稳态导热问题，可用坐标表示时—空区

8、域离散化后的节点。式中：—空间间隔，—时间间隔。一、时间—空间区域离散化二、离散化方程的建立三、差分格式的稳定性1显格式扩散项取中心差分非稳态项取向前差分扩散项用时层上的值来表示。若用图来表示m+1,m,M-1,m,2解的稳定性有的差分格式的计算结果与真值十分相近。有的差分格式的计算结果严重偏离真值，甚至发生上下震荡，得不到结果。当计算从一个时层向下一个时层推进时，任何一个时层的解取决于前一个时层的计算结果，而每次计算时，四舍五入总是难免的3解不稳定的原因如果舍入误差