2、积:f(ξi)△xi(i=1,2,3,……,n),并作合式：记λ=max{△x1,△x2,△x3……,△xn},若不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间[xi-1,xi]上点ξi怎样取法，只要当λ→0时，S的极限I总存在，这时我们称I为函数f(x)在区间[a,b]上定积分（简称积分），记做：其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，[a,b]称为积分区间，称为积分和。___________________________________________________
3、_________________________________________________如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，则称f(x)在[a,b]上可积。关于定积分的定义，作以下几点说明：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母记法无关，即。（2）定义中区间的分法与ξi的取法是任意的。（3）定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ→0必有n→∞，反之n→∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限：例：（此特殊合式在计算中可以作为公式使用）1.定积分的
4、存在定理定理一若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。定理二若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。2.定积分的几何意义对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≥0时，定积分____________________________________________________________________________________________________在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积；
5、当f(x)小于0时，围成的曲边梯形位于x轴下方，定积分在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x轴，曲线y=f(x),x=a,x=b之间的各部分曲边梯形的代数和。4．定积分的性质线性性质（性质一、性质二）性质一和差的积分等于积分的和差；性质二（k是常数）性质三对区间的可加性不管a,b,c相对位置如何，总有等式性质四如果在区间[a,b]上，f(x)≡1，则性质五（保号性）如果在区间[a,b]上，f(x)≥0，则推论一设f(x)≤g(x),x∈[a,b]，则推论二(a
6、7、(x)在区间[a,x]上定积分为，此时x既表示积分变量又表示积分的上限，但两者的含义不同，因为定积分与积分变量的激发无关，故可改用其他符号，可用t表示积分变量，则上面的积分可写成，该积分会随着X的取定而唯一确定，随X的变化而变化。所以积分是定义在区间[a,b]上关于x的一个函数，记做Φ(x):Φ(x)=(a≤x≤b)并称该函数为积分上限函数或积分变上限函数，它具有下面定理所指出的重要性质：定理一如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数Φ(x)在区间[a,b]上可导，且导数为Φ‘(x)=（a≤x≤b）定理二（原函数存
8、在定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数Φ(x)就是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数。定理二肯定了连续函数的原函数是存在的，揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。定理三如果函数f(t)在区间I1上连续，a(x),b(x)在区间I2上都可导
