《解三角形的》常见的题型归纳.doc

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1、《解三角形》常见题型总结1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1在ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a:b:c.【点拨】本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式a:b:c=sinA:sinB:sinC求解。解：【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。例2在ABC中，已知c=+，C=30°，求a+b的取值范围。【点拨】此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三角函数，然后再求解。解：∵C=30°，c=+，∴由正弦定理得：∴a=2(+)

2、sinA,b=2(+)sinB=2(+)sin（150°-A）.∴a+b=2(+)[sinA+sin(150°-A)]=2(+)·2sin75°·cos(75°-A)=cos(75°-A)①当75°-A=0°，即A=75°时，a+b取得最大值=8+4；②∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A＜150°，∴0°＜A＜150°,∴-75°＜75°-A＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，∴＞cos75°=×=+.综合①②可得a+b的取值范围为(+,8+4>考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC中，·tanB=·tanA，

3、判断三角形ABC的形状。【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC的形状。解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得：,即，，.∴为等腰三角形或直角三角形。【解题策略】“在△ABC中，由得∠A=∠B”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B或∠A+∠B=”的导出过程。例4在△ABC中，如果，并且B为锐角，试判断此三角形的形状。【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC的形状。解：.又∵B为锐角，∴B=45°.由由正弦定理，得,∵代入上式得：考察点3：利用正弦定理证

4、明三角恒等式例5在△ABC中，求证.【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将转化为.证明：由正弦定理的变式得：同理【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。例6在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，C=2B，求证.【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用.证明：【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。考察点4：求三角形的面积例7在△ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，若,求

5、△ABC的面积S.【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA及边c，再求面积。解：由题意，得∴B为锐角，由正弦定理得【解题策略】在△ABC中，以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到，要记准、记熟，并能灵活应用，例8已知△ABC中a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，△ABC的外接圆半径为12，且,求△ABC的面积S的最大值。【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。解：【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合，通过讨论三角函数值的取值，求得面积的最大值。考察点5：与正弦定理有关的综合问题例9已知△ABC的内角A,B极其对边

6、a,b满足求内角C【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识，考察运算能力、分析能力和转化能力。解法1：（R为△ABC的外接圆半径），又∵A,B为三角形的内角，当时，由已知得综上可知，内角.解法2：由及正弦定理得，，，从而即又∵0＜A+B＜π，【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法，熟练运用三角恒等变换公式是解题的关键。例10在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c,且c=10,，求a,b及△ABC的内切圆半径。【点拨】欲求边，应将已知条件中的边角统一，先求角再求边。解：变形为又∴△ABC是直角三角形。由解得

7、【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。------------------------------------------『易错疑难辨析』易错点利用正弦定理解题时，出现漏解或增解【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。例1（1）在△ABC中，（2）在△ABC中，【错解】（1）由正弦定理得（2）由正弦定理得【点拨】（1）漏解，由（0°＜B＜180°）可得因为b＞a,所以两解都存在。（2）增解。由（0°＜B＜1

8、80°）可得，因为b＜a,根据三角形中大边对大角可知B＜A,所以不符合条件，应舍去。【正解】（1）由正弦定理