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1、优选专题07零点问题(解析版)函数的零点连接着函数,方程和图像,充分体现了函数与方程的关系,包含了数形结合的思想.在高考试卷中经常看到函数的零点问题,学生容易在此处失分.零点问题易错点易错点1：因＂望文生义＂而致误求函数的零点有两个方法,⑴代数法：求方程的实数根,⑵几何法：由公式不能直接求得,可以将它与函数的图象联系起来,函数的图象与轴交点的横坐标．即为所求．易错点2：因函数的图象不连续而致误对函数零点个数的判定,可以利用零点存在性定理来判定,涉及多个零点的往往借助于函数的单调性．若函数在区间上的图象是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即,则
2、在区间内,函数至少有一个零点,即相应的方程在区间至少有一个实数解．然而对于函数的,若满足,则在区间内不一定有零点；反之,在区间内有零点也不一定有．前者是因为图象不连续,后者是因为方程有重根．如下图所示：易错点3：因函数值同号而致误对有些函数,即使它的图象是连续不断的,当它通过零点时,函数值也不一定变号．如函数有零点１,(如上图)但函数值没变号．对函数零点的判定一定要抓住两点：①函数在区间上的图象是连续曲线,②在区间端点的函数值符号相反,即12/12优选．易错点4：因忽略区间端点而致误在求参数时,要注意将函数零点的特殊性质与函数的有关性质相结合,进行分
3、类讨论使复杂的问题简单化．题组一：判断零点所在区间1.函数零点所在大致区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】因为函数的定义域为：,函数是连续函数根据函数的零点判定定理,故选C.2.设函数,则在下列区间中函数不存在零点的是()A.B.C.D.【解析】由函数零点的定义,知不存在零点,,即方程12/12优选在这个区间上无解.设,则这两个函数图像在这个区间上无交点.做出的图像,观察图像知选A.题组二：求零点个数3.(2018全国卷Ⅲ)函数在的零点个数为_____．【解析】由题意知,,所以,,所以,,当时,；当时,；当时,,
4、均满足题意,所以函数在的零点个数为3．4.(2019全国Ⅰ理11改编)关于函数在有_______个零点.【解析】,则函数是偶函数,12/12优选,由得,得或,由是偶函数,得在上还有一个零点,即函数在上有3个零点5．(2011全国新课标)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于________.【解析】图像法求解．的对称中心是也是的中心,他们的图像在的左侧有4个交点,则右侧必有4个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为,则,所以选D【解析】12/12优选题组三：根据零点个数求参数7.(2018全国卷Ⅰ)已知函数,．若存在2个零点,则a的取值X围是(
5、)A．[–1,0)B．[0,+∞)C．[–1,+∞)D．[1,+∞)【解析】函数存在2个零点,即关于的方程有2个不同的实根,即函数的图象与直线有2个交点,作出直线与函数的图象,如图所示,由图可知,,解得,故选C．★8．(2017新课标Ⅲ)已知函数有唯一零点,则A．B．C．D．112/12优选【解析】令,则方程有唯一解,设,,则与有唯一交点,又,当且仅当时取得最小值2．而,此时时取得最大值1,有唯一的交点,则．选C． 9.已知函数=,若存在唯一的零点,且＞0,则的取值X围为A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)【解析】1
6、2/12优选★10.(2019全国Ⅲ理12节选)设函数,已知在有且仅有5个零点．的取值X围是____________.【解析】当时,,因为在有且仅有5个零点,所以,所以,11．(2010新课标)已知函数,若,,均不相等,且==,则的取值X围是A．(1,10)B．(5,6)C．(10,12)D．(20,24)12/12优选【解析】画出函数的图象,如图所示,不妨设,因为,所以,的取值X围是,所以的取值X围是．题组四：大题中的零点问题12.(2019全国Ⅱ理20(1))已知函数,讨论的单调性,并证明有且仅有两个零点；【解析】f(x)的定义域为.因为,所以在
7、(0,1),(1,+∞)单调递增．因为f(e)=,,所以f(x)在(1,+∞)有唯一零点x1,即f(x1)=0．又,,故f(x)在(0,1)有唯一零点．综上,f(x)有且仅有两个零点．12/12优选13．(2016年全国Ⅰ)已知函数有两个零点．(I)求a的取值X围；【解析】Ⅰ)．(i)设,则,只有一个零点．(ii)设,则当时,；当时,．所以在上单调递减,在上单调递增．又,,取满足且,则,故存在两个零点．(iii)设,由得或．若,则,故当时,,因此在上单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．若,则,故当时,；当时,．因此在上单调递减,在上单调递增．又当
8、时,,12/12优选所以不存在两个零点．综上,的取值X围为．14．(2017新课标Ⅰ)已知函数．(1)讨论的
