数学物理方法2-1.ppt

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1、第三章复变函数级数一系列无穷多个数u1,u2,u3,…un…写成和式u1+u2+u3+…+un+…就称为无穷级数，记为。这仅仅是一种形式上的相加。这种加法是不是具有“和数”呢？这个“和数”的确切意义是什么呢？若级数收敛于S，也称此值S为级数的“和数”。无穷级数的定义：为什么要研究级数？(1)级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具；(2)常微分方程的级数解。以下问题值得关心：级数的敛散性；(2)级数收敛的定义、条件、判据；(3)收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。3.1级数的基本性质一、复数项级数1.定义：形如的

2、级数称为复数2.部分和项级数，其中zn=an+ibn，且an和bn为实常数。3.收敛的条件和定义a.定义：如果当时，部分和有确定的极b.收敛的必要条件：限，即，则称级数收敛，s称为级数和。反之，如果极限不存在，则称级数发散。证明：由级数收敛得：c.收敛的充分必要条件：任给，存在自然数，且当时，对任何自然数p，如果有成立，则收敛。4.绝对收敛的定义及其判别法a.定义：若收敛，则称绝对收敛。b.判别法：的每一项都是复数的模，即正实数，所以它实际上就是正项级数，这样复数项级数绝对收敛的判别法即正项级数的判别法。若则在r<

3、1时是绝对收敛，在r>1时发散，在r=1时敛散性需要进一步检验。注意：一个收敛的级数并不一定绝对收敛，但绝对收敛的级数一定收敛。5.条件收敛级数的定义若收敛而发散，则称为条件收敛级数。二、复变函数项级数1.定义：称为复变函数项级数，其中z复变数，wk(z)为复变函数。在D上给定点z：复变函数项级数→复数项级数D上无数多个点z：复变函数项级数→无限多个复数项级数2.复变函数项级数收敛的充要条件a.充要条件：对于D上(或L)上的点z，任给ε>0，存在自然数N(ε,z)，当n>N(ε,z)时，有(p为任意自然数)则称在点

4、z收敛。[对于不同的点z，N(ε,z)不同。]b.定义：若级数在D(或L)上所有点z收敛，则称级数在D(或L)上收敛，称为级数和。3.复变函数项级数一致收敛的充分必要条件定义：任给ε>0，存在一个与z无关的自然数N(ε)，当n>N(ε)时，对D(或L)上所有z，均有：(p为任意自然数)，则称在D(或L)一致收敛。比较收敛与一致收敛的区别!判别法2三、一致收敛级数的判别方法判别法1(魏尔斯特拉斯判别法)已知正项级数收敛，若在D(或L)上的所有点均有

5、wk(z)

6、≤mk，则级数在D(或L)上绝对且一致收敛。实质：1.找

7、一个收敛的正项级数(收敛性比较容易判断)2.将

8、wk(z)

9、与mk比较(在D上所有点)已知u(z)在D(或L)上是个有界函数，若在D(或L)上一致收敛，则也在D(或L)上一致收敛。实质：函数u(z)有界+级数一致收敛(两个条件)构造新级数：，则新级数一致收敛。证明：要证的是：任给ε'>0，看是否存在N'(N'与z无关)，使当n>N'时，若有，则命题成立。因为D(或L)上u(z)有界，所以

10、u(z)

11、N时，有现取N'>N，n>N'，所以n>N，这样在D(或L)上一致收敛。四、

12、一致收敛级数的性质性质1若级数在D内一致收敛于S(z)，且其各项均为D内的连续函数，则S(z)也是D内的连续函数。性质2若级数在曲线L上一致收敛于S(z)，且各项均为L上的连续函数，则级数可沿L逐项积分，即性质3魏尔斯特拉斯定理(1)级数和在D内解析若级数在区域的边界L上一致收敛，且各项wk(z)在区域上解析，则(2)在D内级数可逐项求导任意多次，即证明：(1)设：z'—边界L上任意一点，z—D中任意一内点，构造，则v(z')在边界L上有界又在边界L上一致收敛，则级数在边界L上也一致收敛设，则级数可沿曲线L逐项积分

13、：由柯西公式及wk(z)解析，有即上式右边在D内对任意点z可导S(z)在D内解析(2)由于S(z)在D内解析，且交换积分和求和次序，即可逐项求导。而可逐项积分三幂级数幂级数：常用的一种级数，实变函数幂级数的推广幂级数的一般形式：(一)幂级数的敛散性由于发散的幂级数没有多大用处，故首先必须研究幂级数的敛散性。ak,b：复常数，b：幂级数的中心，ak：幂级数的系数1.阿贝尔定理若幂级数在点z0收敛，则在任一闭圆证明：级数在z0点收敛，则，可知必定存在正数M，对所有k均有

14、z–b

15、≤θ

16、z0–b

17、(0<θ<1)内，幂级数

18、绝对且一致收敛。又因为所以而是一个收敛的正项级数。由一致收敛级数判别法1可知：在闭圆内绝对且一致收敛。2.推论若在点发散，则级数

19、z–b

20、≤θ

21、z0–b

22、必在圆

23、z–b

24、=

25、z1–b

26、的外部发散。证明：用反证法。设级数在圆

27、z–b

28、=

29、z1–b

30、外的某点z2收敛，则由阿贝尔定理可知，该级数必在圆

31、z–b

32、=

33、z2–b

34、内收敛，级数必在点z1收敛，与推论中的条