选修1-1教案3.3.1函数的单调性与导数.doc

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1、个人收集整理勿做商业用途课题：3.3。1函数的单调性教学目的：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法教学重点：利用导数判断函数单调性教学难点：利用导数判断函数单调性授课类型：新授课课时安排:1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：  以前，我们用定义来判断函数的单调性.对于任意的两个数x1,x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1）＜f(x2）,那么函数f（x）就是区间I上的增函数。对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时,都有f（x1)＞f(x2），那么函数f（x）就是区间I上的减函数。在函数y=f(x

2、)比较复杂的情况下,比较f（x1)与f（x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单教学过程:一、复习引入：1。常见函数的导数公式：;;；;；;2.法则1　．法则2,法则3二、讲解新课：1.函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y=f(x）的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数的图像可以看到：y=f（x）=x2－4x+3切线的斜率f′（x)（2，+∞)增函数正＞0（－∞，2)减函数负＜0在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y=f（x)的值随着x的增大而增大，即>0时，函数y=f(x）在区间（2，＋∞)内为增函数

3、；在区间（－∞，2)内，切线的斜率为负，函数y=f（x）的值随着x的增大而减小，即0时,函数y=f(x）在区间（－∞，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0个人收集整理勿做商业用途，那么函数y=f(x）在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x）在为这个区间内的减函数2.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f（x)的导数f′(x）.②令f′（x）＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′（x）＜0解不等式,得x的范围,就是递减区间。三、讲解范例：例1确定函数f(x）=x2－2x+4

4、在哪个区间内是增函数，　　　　哪个区间内是减函数.解：f′(x）=（x2－2x+4)′=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1。∴当x∈(1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x)是增函数。令2x－2＜0，解得x＜1.∴当x∈（－∞，1)时,f′（x）＜0,f(x)是减函数。例2确定函数f(x）=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，　　哪个区间内是减函数。解：f′(x）=（2x3－6x2+7)′=6x2－12x令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈（－∞，0）时，f′（x）＞0，f(x)是增函数。当x∈（2，+∞）时，f′(x)＞0，f(x）是增函

5、数.令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈（0，2)时,f′(x）＜0,f(x）是减函数.例3证明函数f(x)=在（0，+∞)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈（0,+∞）设x1＜x2。f(x1）－f（x2）=∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0∵x1＜x2，∴x2－x1＞0,∴＞0∴f（x1）－f(x2)＞0，即f(x1）＞f(x2)∴f（x）=在（0，+∞）上是减函数。证法二：(用导数方法证)∵=（）′=（－1）·x－2=－，x＞0，∴x2＞0,∴－＜0。∴，个人收集整理勿做商业用途∴f（x)=在(0，+∞）上是减函

6、数.点评:比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.例4确定函数的单调减区间例５已知函数y=x+,试讨论出此函数的单调区间。解：y′=（x+)′=1－1·x－2=令＞0。解得x＞1或x＜－1。∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1,+∞).令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1。∴y=x+的单调减区间是(－1，0）和(0，1）四、课堂练习：1．确定下列函数的单调区间（1)y=x3－9x2+24x(2)y=x－x3(1）解：y′=（x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24

7、=3（x－2）(x－4）令3（x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2。∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是（4，+∞)和(－∞,2)令3（x－2）（x－4）＜0，解得2＜x＜4.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)解：y′=（x－x3)′=1－3x2=－3(x2－）=－3(x+)（x－)令－3（x+)(x－）＞0，解得－＜x＜.∴y=x－x3的单调增区间是(－，）.个人收集整理勿做商业用途令－3（x+）（x－）＜0,解得x＞或x＜－.∴y=x－x3的单调减区间是（－∞，－)和(，+∞)2。讨论二次函数y=ax2+bx+c(a＞0

8、）的单调区间。解：y′=（ax2+bx+c)′=2ax+b，令2a