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1、《信号与系统》第八章--考研及期末考试从理论研究到工程实际LTI系统计算机可以处理的数据形式离散有限：存储、运算离散：存储空间、运算速度有限时域对离散化后的序列截断或加窗频域对离散信号的频谱（周期）加窗即只取用一个周期从理论研究到工程实际已有的理论基础时频域均离散8.1.3DFT与DTFT和ZT变换的关系设x(n)是一个长度为N的有限长序列，则x(n)的离散时间傅里叶变换为将Ω离散化，在0~2π上从0开始等间隔地取N个点，即即可得到离散傅里叶变换DFT。对X(Ω)进行均匀采样，1.DTFT和DFT的关系X(k)是序列的傅立叶变
2、换X(Ω)的在区间[0,2π]上的N点等间隔采样，采样间隔为：ΩN=2π/N。为求DFT的反变换，将DFT两边乘以下面证明IDFT的唯一性并对k从0到N-1求和，得上式右边=Nx(n)n=0,1,…,N-12.DFT和Z变换的关系比较z变换与DFT变换，可见当设序列x(n)的长度为N，其z变换和DFT分别为：时，则有X(k)也是z变换在单位圆上的N点等间隔采样值，采样间隔为：例求x(n)=R4(n)的DTFT及16点和32点的DFT。解根据DTFT的定义得其频谱为连续的，如图(b)所示设变换区间N=16，则，n=0,1,…,1
3、5根据DFT的定义得图6-1DFT与DTFT的关系图6-1(c)为16点DFT的频谱（实线），是离散的，实际上是对DTFT连续频谱离散化的结果，虚线是DTFT的频谱。图6-1(d)为32点DFT的频谱（其DFT变换省略）。解：例k＝1时，k≠1时，k＝7时，k≠7时，X(0)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=X(6)=0当k=7时，当k=1时，解：X(0)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=X(6)=0当k=7时，DFT一般为复数当k=1时，解：例和分别为和的N点DFT.若和是两个有限长度序列，长度分别为和，则其线
4、性组合的N点DFT为1.线性性质8.2离散傅里叶变换的性质当k的取值不受限制时，X(k)以N为周期。2.DFT的隐含周期性设x*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为NX(k)=DFT[x(n)]则DFT[x*(n)]=X*(N-k),0≤k≤N-1且X(N)=X(0)3.复共轭序列的DFT证明：又由X(k)的隐含周期性有X(N)=X(0),它的末点就是它的起始点。用同样的方法可以证明DFT[x*(N-n)]=X*(k)4.DFT的共轭对称性有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列：xep(n)=x*ep(N-n),0
5、≤n≤N-1有限长共轭反对称序列：xop(n)=-x*op(N-n),0≤n≤N-1DFT的对称性是关于N/2点的对称性。注意：X(k)也是序列，对X(k)也成立。有限长共轭对称序列有限长共轭反对称序列4.DFT的共轭对称性有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列：xep(n)=x*ep(N-n),0≤n≤N-1有限长共轭反对称序列：xop(n)=-x*op(N-n),0≤n≤N-1DFT的对称性是关于N/2点的对称性。注意：X(k)也是序列，对X(k)也成立。N/2左边N/2右边当N为偶数时，将上式中的n换成可得到
6、任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和，即x(n)=xep(n)+xop(n),0≤n≤N-1将上式中的n换成N-n，并取复共轭，可得x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n)=xep(n)-xop(n)xep(n)=x*ep(N-n),0≤n≤N-1xop(n)=-x*op(N-n),0≤n≤N-11)如果x(n)=xep(n)+xop(n)，0≤n≤N-1其中4.DFT的共轭对称性2)如果x(n)=xr(n)+jxi(n)其中Xep(k)=DFT[xr(n)],是X(k)的共轭对称分
7、量;Xop(k)=DFT[jxi(n)],是X(k)的共轭反对称分量。用同样的方法可以证明具有共轭反对称性证明了Xep(k)=DFT[xr(n)]是X(k)的共轭对称分量。实际上设x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFT[x(n)]，对于纯实数序列，x(n)=xr(n)，X(k)只有共轭偶对称部分，即X(k)=Xep(k)，表明实数序列的DFT满足共轭对称性，故X(k)=X*(N-k)，0≤k≤N-1DFT[x(n)]=DFT[xr(n)]=X(k)=Xep(k)=X*ep(N-k)=X*(N-k)3)实信号DFT的共轭对
8、称性X(k)=X*(N-k)，0≤k≤N-1，利用这一特性，只要知道一半数目的X(k)，就可得到另一半的X(k)，这一特点在DFT运算中可以加以利用，以提高运算效率。4)DFT的共轭对称性的意义一次DFT变换两个实序列。将两个实序列，构成新序列x(n)如下：x(
