信号与系统第八章考研及期末考试ppt课件.ppt

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1、第8章离散傅里叶变换8.1离散傅里叶变换(DFT)定义8.2离散傅里叶变换的性质8.3用DFT计算线性卷积8.4频域采样8.5快速傅里叶变换(FFT)8.6FFT的应用1从理论研究到工程实际LTI系统计算机可以处理的数据形式离散有限：存储、运算离散：存储空间、运算速度有限时域对离散化后的序列截断或加窗频域对离散信号的频谱（周期）加窗即只取用一个周期2从理论研究到工程实际已有的理论基础时频域均离散38.1离散傅里叶变换的定义8.1.1离散傅里叶变换的定义从离散傅里叶级数DFS到离散傅里叶变换DFS变换对为：由于对k和n都是以N为周期的，所以当也是以N为周期时。其本身时，可以利用

2、DFS的周期性，只需要在时域和频域各取一个周期，计算一个周期，将所得结果进行周期延拓，即可以得到它们。是以N为周期时，则和是无限长的，但在计算序列的频谱和虽然4由于在DFS中，只用到一个周期的N个值，取它们的主值序列：x(n)(0≤n≤N-1)和X(k)(0≤k≤N-1)，等式依然成立，这就是离散傅里叶变换，即k=0,1,…,N-1n=0,1,…,N-15k=0,1,…,N-1DFT并不是一个新的傅里叶变换形式，只不过是将DFS变换对中的序列取主值，就得到了DFT，将DFT进行周期延拓就得到DFS，因此DFT隐含周期性。DFT与DFS的关系：有限长序列x(n)是非周期的

3、，其频谱应该是连续的，但用DFT得到的x(n)的频谱是离散频谱，这是由于将有限长序列x(n)延拓成周期序列而造成的。n=0,1,…,N-18.1.2离散傅里叶变换（DFT）与离散傅里叶级数（DFS）的关系68.1.3DFT与DTFT和ZT变换的关系设x(n)是一个长度为N的有限长序列，则x(n)的离散时间傅里叶变换为将Ω离散化，在0~2π上从0开始等间隔地取N个点，即即可得到离散傅里叶变换DFT。对X(Ω)进行均匀采样，1.DTFT和DFT的关系X(k)是序列的傅立叶变换X(Ω)的在区间[0,2π]上的N点等间隔采样，采样间隔为：ΩN=2π/N。7为求DFT的反变换，将DFT

4、两边乘以下面证明IDFT的唯一性并对k从0到N-1求和，得上式右边=Nx(n)n=0,1,…,N-182.DFT和Z变换的关系比较z变换与DFT变换，可见当设序列x(n)的长度为N，其z变换和DFT分别为：时，则有X(k)也是z变换在单位圆上的N点等间隔采样值，采样间隔为：910例求x(n)=R4(n)的DTFT及16点和32点的DFT。解根据DTFT的定义得其频谱为连续的，如图(b)所示11设变换区间N=16，则，n=0,1,…,15根据DFT的定义得12图6-1DFT与DTFT的关系图6-1(c)为16点DFT的频谱（实线），是离散的，实际上是对DTFT连续频谱离散化的结

5、果，虚线是DTFT的频谱。图6-1(d)为32点DFT的频谱（其DFT变换省略）。13解：例14k＝1时，k≠1时，k＝7时，k≠7时，15X(0)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=X(6)=0当k=7时，当k=1时，16解：1718X(0)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=X(6)=0当k=7时，DFT一般为复数当k=1时，19解：例20和分别为和的N点DFT.若和是两个有限长度序列，长度分别为和，则其线性组合的N点DFT为1.线性性质8.2离散傅里叶变换的性质21当k的取值不受限制时，X(k)以N为周期。2.DFT的隐含周期性22设x*(n)是x(n)的复共

6、轭序列，长度为NX(k)=DFT[x(n)]则DFT[x*(n)]=X*(N-k),0≤k≤N-1且X(N)=X(0)3.复共轭序列的DFT证明：又由X(k)的隐含周期性有X(N)=X(0),它的末点就是它的起始点。用同样的方法可以证明DFT[x*(N-n)]=X*(k)234.DFT的共轭对称性有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列：xep(n)=x*ep(N-n),0≤n≤N-1有限长共轭反对称序列：xop(n)=-x*op(N-n),0≤n≤N-1DFT的对称性是关于N/2点的对称性。注意：X(k)也是序列，对X(k)也成立。有限长共轭对称序列有限长共轭反对

7、称序列244.DFT的共轭对称性有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列：xep(n)=x*ep(N-n),0≤n≤N-1有限长共轭反对称序列：xop(n)=-x*op(N-n),0≤n≤N-1DFT的对称性是关于N/2点的对称性。注意：X(k)也是序列，对X(k)也成立。N/2左边N/2右边当N为偶数时，将上式中的n换成可得到25任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和，即x(n)=xep(n)+xop(n),0≤n≤N-1将上式中的n换成N-n，并