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1、7.5空间向量及其运算第七章2022内容索引0102必备知识预案自诊关键能力学案突破必备知识预案自诊【知识梳理】1.空间向量(1)定义:空间中既有又有的量称为空间向量.(2)向量的模(或长度):向量的.(3)表示方法:①几何表示法:可以用来直观的表示向量,如始点为A终点为B的向量,记为,向量的模用表示.②字母表示法:可以用加粗的斜体小写字母a,b,c来表示向量,向量a的模用大小方向大小有向线段2.几类特殊的向量始点终点1相等相同相反相等平行平行同一平面3.空间向量的线性运算即三个不共面向量的和,
2、等于以这三个向量为邻边的平行六面体中,与这三个向量有所表示的向量.(3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a,则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量,记作λa.其中:①当λ≠0且a≠0时,λa的模为,而且λa的方向:(ⅰ)当λ>0时,与a的方向;(ⅱ)当λ<0时,与a的方向.②当λ=0或a=0时,λa=.(4)空间向量的线性运算满足如下运算律:对于实数λ与μ,向量a与b,有λa+μa=(λ+μ)a,λ(a+b)=λa+λb.共同始点的对角线
3、λ
4、
5、a
6、相同相反04.空间向量的数量积(1)空间向
7、量的夹角非零∠AOB[0,π]互相垂直(2)空间向量数量积的定义:两个非零向量a,b的数量积(也称为内积)定义为a·b=
8、a
9、
10、b
11、cos.(3)数量积的几何意义①向量的投影如图所示,过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线,即可得到向量a在向量b上的投影a'.②数量积的几何意义:a与b的数量积等于a在b上的投影a'的数量与b的长度的乘积,特别地,a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a'的数量.规定零向量与任意向量的数量积为0.(4)空间向量数量积的性质:①a⊥b⇔a
12、·b=0;②a·a=
13、a
14、2=a2;③
15、a·b
16、≤
17、a
18、·
19、b
20、;④(λa)·b=λ(a·b);⑤a·b=b·a(交换律);⑥(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).5.共面向量定理如果两个向量a,b不共线,则向量a,b,c共面的充要条件是存在的实数对(x,y),使.6.空间向量基本定理如果空间中的三个向量a,b,c,那么对空间中的任意一个向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=.特别地,当a,b,c不共面时,可知xa+yb+zc=0⇔x=y=z=0.唯一c=xa+yb不共面xa+
21、yb+zc7.相关概念(1)线性组合:表达式xa+yb+zc一般称为向量a,b,c的或.(2)基底:空间中不共面的三个向量a,b,c组成的集合{a,b,c},常称为空间向量的一组基底.(3)基向量:基底{a,b,c}中a,b,c都称为基向量.(4)分解式:如果p=xa+yb+zc,则称xa+yb+zc为p在基底{a,b,c}下的分解式.线性组合线性表达式8.空间向量的运算与坐标的关系假设空间中两个向量a,b满足a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则有以下结论:(1)a+b=;(2
22、)若u,v是两个实数,ua+vb=;(3)a·b=;(x1+x2,y1+y2,z1+z2)(ux1+vx2,uy1+vy2,uz1+vz2)x1x2+y1y2+z1z29.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直(2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.x2=λx1y2=λy1z2=λz110.空间向量坐标的应用设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间直角坐标系中的两点,则常用结论常用结论3.确定平面的法向量的方法(1)直接法:观察是否有垂直于平面的向量,若有,则此向
23、量就是法向量.(2)待定系数法:取平面内的两个不共线向量a,b,设平面的法向量为【考点自诊】1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(2)
24、a
25、-
26、b
27、=
28、a+b
29、是a,b共线的充要条件.()(3)空间中任意两非零向量a,b共面.()(4)对于空间非零向量a,b,若a·b<0,则a与b的夹角为钝角.()(5)对于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c.()√×√××2.在空间直角坐标系中,点P(3,4,5)与Q(3,-4,-5)两点的位置关系是.答案关于x轴对称3.正四面体AB
30、CD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为.4.已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),则的夹角θ的大小是.答案120°关键能力学案突破考点1空间向量的线性运算答案(1)A(2)C解题心得进行向量的线性运算,有以下几个关键点(1)结合图形,明确图形中各线段的几何关系.(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义.(3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立.考点2共线、共面向量定理的应用答案(1)A解题心得共线、共面向量定理的类比对
