最新流动的组织——血液教学讲义PPT.ppt

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1、流动的组织——血液实变函数主讲教师：吴行平辅导课程九第四章可测函数本章引进一个新的函数类——可测函数类，并讨论它的性质，为下一章的勒贝格积分作准备。我们将看到，可测函数与我们熟悉的连续函数有密切的联系，在可测函数类中进行运算，如代数运算、取极限运算等是相当方便的，所得结果仍是可测函数。第一节  可测函数及其基本性质本节主要介绍可测函数的概念及其性质，通过本节的学习，我们要掌握可测函数的概念，可测函数的基本性质，即可测函数的四则运算和极限运算仍为可测函数，同时我们要知道可测集上的连续函数，简单函数，区间上的单调

2、函数均为可测函数。另外，本节最后给出的“几乎处处”概念是一个很重要的概念设E是一个可测子集（有界或无界），是定义在E上的实函数（其值可以为无穷大）。关于包含在内的实数运算作如下规定：是全体有限实数的上确界，是全体有限实数的下确界：上（下）方无界的递增（减）数列对于任何有限实数无意义设是任一实数，记=定义1设是定义在可测集E上的实函数。如果对每一个实数集恒可测（勒贝格可测），则称是定义在E上的（勒贝格）可测函数。定理1设是定义在可测集E上的实函数，下列任一个条件都是在E上（勒贝格）可测的充要条件：（1）对任何有

3、限实数，都可测；（2）对任何有限实数，都可测；（3）对任何有限实数，都可测；（4）对任何有限实数，都可测证明与对于E是互余的，同样与对于E也是互余的。故在前三个条件中，只须证明（1）的充要性。事实上，易知==关于（4）的充要性，只需注意表示式=时=推论1设在E上可测，则总可测，不论是有限实数或，。证只需注意-===例1定义在零测集上的任意实函数均为可测函数。事实上，零测集的子集总是可测集。每一个实数，集恒可测例2区间上的连续函数及单调函数都是可测函数。例1设=，在上定义狄里克雷函数如下：=由于对任意实数，集为

4、（当），中有理点集空集。它们都是可测集。故是E上的可测函数。定义2定义在的实函数称为在连续，如果有限，而且对于的任邻域，存在的某邻域，使得，即只要且时，便有。如果在E中每一点都连续，则称在E上连续。定义3设的定义域E可分为有限个互不相交的可测集，=，使在每个上都等于某个常数则称为简单函数。例4可测集E上的连续函数是可测函数。事实上，设，则由连续性假设，存在x的某邻域，使令==定理2（1）设是可测集E上的可测函数，而为可测子集，则看作定义在上的函数时，它是上的可测函数；（2）设是定义在有限可测集的并集上，且在每

5、个上都可测，则在E上也可测。证（1）对于任何有限数，=，由假设等式右边是可测集。（2）E是可测集而且对于任何有限数，有=由假设等式右边是可测集。例1    任 何简单函数都是可测函数。事实上，定义在可测集上的常值函数显然是可测的，由定理2便知任何简单函数都是可测函数。定理3设是上一列（或有限个）可测函数，则=与都是可测函数。证由于=，=而得证。定理4设是上一列可测函数，则=，也在E上可测，特别当=存在时，它也在E上可测。证由于==，=重复应用定理3即得证。