最新第3章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)教学讲义ppt.ppt

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1、第3章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)主要内容张量函数、各向同性张量函数的定义和例矢量的标量函数二阶张量的标量函数二阶张量的二阶张量函数张量函数导数的定义，链规则矢量的函数之导数二阶张量的函数之导数张量函数、各向同性张量函数的定义和例要研究导数，必须引进函数。张量函数，有各种类型。例如，张量的标量函数：例如，张量的张量函数：张量函数、各向同性张量函数的定义和例矢量的旋转量：二阶张量的旋转量：进一步看：张量函数、各向同性张量函数的定义和例把上述思想推广至一般情形：各向同性张量函数函数满足当自变

2、量改为其旋转量时，函数值必相应地变为其旋转量，即：通过正交变换，使从而使张量函数、各向同性张量函数的定义和例各向同性张量函数例子请见《张量分析》的92~93页。矢量的标量函数Cauchy基本表示定理：矢量的标量函数为各向同性f可表示为内积的函数。推论：矢量的标量函数为各向同性f可表示为张量的标量函数定理1：若为各向同性函数例：屈服函数定理2：若为各向同性函数时，发生屈服，张成的曲面为屈服面。因此，一次项二次项三次项张量的标量函数例：屈服函数若材料不可压缩，马氏体相变（金属材料）+塑性屈服考虑因此有消失

3、；若只研究二次项，消失，因此有若材料可压缩，则与有关，因此有二阶张量的二阶张量函数二阶张量的解析函数幂级数：仿照复变函数中的解析函数来构造二阶张量的解析函数：如何确定？二阶张量的二阶张量函数Hamilton-Cayley等式推广：T的特征多项式：H-C等式：均可用来表达。由于，也就是说，H-C等式的意义：只需研究低次项，而无需高次项。二阶张量的二阶张量函数例：应力应变关系1、各向同性材料未加载时，有2、线性各向同性材料则因此，有张量函数导数的定义，链规则有限微分、导数与微分函数的导数、微分：有限微分

4、是张量函数导数的核心！※先对函数概念做扩展！A是自变量，可以是标量，矢量，张量。B是函数，也可以是标量，矢量，张量。典型例子：非线性弹性材料：过去，这样求导，似乎天经地义。本章假定：仅研究直线坐标系下张量函数的导数。换言之，基矢量不变，是常矢量。如果：且x是标量，则总有：然而，如果：且v是矢量，就没有任何意义了！因此，微分的概念要拓展。从微分到有限微分，出发点，仍然是传统的微分称为函数F(x)对z的有限微分。其中：h——无量纲无穷小量；z——自变量x的有限增量，与x同量纲。令z=1，立即有：可以证明：

5、这是有限微分与传统微分之间的关系：线性关系！令dx=hz，则有：即得：进一步：※进一步推广：矢量的矢量函数有限微分运算具有线性性与可和性。线性性：可和性：规定gi是常矢量※矢量的矢量函数的有限微分※张量的张量函数的有限微分（协变微分意义下）张量函数，其中，注意：至此，都只是给出定义！张量函数导数的链规则★类似于经典的复合函数求导经典复合函数的导数张量的张量复合函数的导数（二阶张量）矢量的函数之导数矢量的矢量标量张量函数之导数先看矢量的标量函数之导数。已有：出发点，仍为定义：于是，关键是计算于是有：比较

6、（定义式和计算式）：u任意，故立即有：矢量的函数之导数推而广之，矢量的函数求导数的计算式矢量的矢量标量张量函数之导数张量的函数之导数张量的函数求导数的计算式张量的矢量标量张量函数之导数张量的函数之导数与力学的联系：应变能密度应变能密度是应变张量的标量函数研究非线性弹性材料的本构，例如橡胶，可先从应变能入手。为弹性张量弹性张量还可写做应变能密度对应变张量的导数：本章结束常微分方程辅导课程三主讲教师：王稳地恰当方程把一阶显式方程改写为如果方程的左边可以写成一个函数u(x,y)的全微分，即M(x,y)dx+

7、N(x,y)dy=du(x,y)则称为恰当方程或全微分方程(1)例如：xdx+ydy=0对于恰当方程来说，由于方程可以变为du(x,y)=0通解就为：u(x,y)=c问题：1.怎样判定一个方程是恰当方程2.如果是，怎样求全微分u(x,y)定理：设M(x,y)和N(x,y)都是连续可微，则方程(1)是恰当方程的充要条件为证明：“必要性”设(1)为恰当方程，则有充分性：设,说明存在一个u,使得：把第一个式子两边关于x积分，得在代入第2个式子得现在的问题是：表达式是否仅仅是y的函数，如果不是，则上式不可能成

8、立；如果是，则可以求出故仅仅是y的函数充分性的论证也给出了u(x,y)的求法例：解：代入得其它解法如果(1)是恰当方程，也就是：考虑曲线积分则积分与路径无关记则有考虑上面的例子把积分路径按图选取通解分组“凑微分”改写为：需要熟悉的公式积分因子有许多方程不是恰当方程，如但是，乘以后，有积分因子：如果一个非零函数，乘以方程：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0成为恰当方程问题：怎样找一个方程的积分因子是(1)的积分因子的充要条件为：在一般情况下难以求解，