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1、高中数学立体几何向量法归纳空间向量空间向量的运算空间向量基本定理空间向量的坐标运算加减和数乘运算共线向量共面向量空间向量的数量积知识结构夹角和距离平行和垂直1、空间直角坐标系以单位正方体的顶点O为原点，分别以射线OA，OC，的方向为正方向，以线段OA，OC，的长为单位长，建立三条数轴：x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系C'D'B'A'COAByzxO为坐标原点，x轴,y轴,z轴叫坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面一、基本概念1、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z).2、根据n·a=0且n·b=0可列
2、出方程组3、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好),便得到平面法向量n的坐标.anb5、平面法向量的求法设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a=0且n·b=0,则n⊥α.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平面ABC的法向量解：平面ABC的法向量为:例、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法
3、向量.解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图），则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2），设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1)AABOzyA1C1B1AxCDD15、两法向量所成的角与二面角的关系设n1、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1、n2夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角.二、基本公式
4、：1、两点间的距离公式（线段的长度）2、向量的长度公式（向量的模）3、向量的坐标运算公式4、两个向量平行的条件5、两个向量垂直的条件或7、重心坐标公式6、中点坐标公式9、直线与平面所成角公式(为的法向量)8、直线与直线所成角公式10、平面与平面所成角公式(为二面角两个半平面的法向量）11、点到平面的距离公式（PM为平面的斜线,为平面的法向量）12、异面直线的距离公式（A,B为异面直线上两点,为公垂线的方向向量）利用向量求角直线与直线所成的角直线与平面所成的角平面与平面所成的角（二面角）利用向量求距离点到直线的距离点到平面的距
5、离直线到平面的距离平行到平面的距离直线到直线的距离三、基本应用利用向量证平行利用向量证垂直直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行四、基本方法1、平行问题２、垂直问题３、角度问题４、距离问题（１）点到点的距离、点到平面的距离、直线到直线的距离直接用公式求解。（２）点到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离转化为点到平面的距离求解。例：题型一：线线角五、典型例题所以：题型一：线线角解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，不妨设则C
6、
7、所以与所成角的余弦值为题型二：线线
8、垂直题型三：线面角N解：如图建立坐标系A-xyz,则即在长方体中，例：题型三：线面角N又例：在长方体中，ABDCA1B1D1C1例.在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证：DB1//面A1C1EEF题型四：线面平行xyz即FEXYZ题型五：线面垂直或先求平面BDE的法向量再证明题型六：面面角设平面xyzXYZ例：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：面A1BD∥面CB1D1题型七：面面平行或先求两平面的法向量再证明例、在正方体AC1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：面AED⊥面A1FD1ABCDA1B1C1D
9、1EFXYZ题型八：面面垂直或证明两平面的法向量垂直练习练习练习练习练习题型九：异面直线的距离zxyABCC1即取x=1,z则y=-1,z=1,所以EA1B1ABCDEFGXYZ题型十：点到平面的距离练习练习练习练习已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，且PD=1，E、F分别为AB、BC的中点。求证：PEAF；求点D到平面PEF的距离；求直线AC到平面PEF的距离；求直线PA与EF的距离；求直线PA与EF所成的角；求PA与平面PEF所成的角；求二面角A-PE-F的大小。ABCDEFPxyz练习作品与作者小石谭记柳宗
10、元柳宗元，字子厚，唐代杰出的文学家，“唐宋八大家”之一。柳宗元和韩愈一同领导了唐代的“古文运动”，他们的诗文都非常杰出，并称为“韩柳”。柳宗元在当时的政治运动中失败后，被贬为永州司马，心情怨愤抑郁，于是寄情山水，写下了一组山水游记，这就是著名的《永州八记》。《小石潭记》就是其中的一篇，这是
