最新齐次线性方程组解的判定、线性组合与线性相关1教学讲义PPT课件.ppt

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1、齐次线性方程组解的判定、线性组合与线性相关1§2向量与向量组的线性组合一、向量及其线性运算1.定义：n个有次序的数a1a2an所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量。如：行向量（行矩阵）列向量（列矩阵）2.一些特殊向量：（1）零向量：所有分量都为零的向量；（2）单位向量组：（3）的每一列都是m维列向量；而其每一行都是n维行向量。1n2例零向量可由任一向量组线性表示：例向量组1,2,···,s中的任一向量j都可由该向量组线性表示：例判断向量能否表示为向量组：的线性组合，若可以，写出表示

2、式。解：设，即：所以x1=2,x2=1，即：β=2α1+α2.判断向量β能否用向量组1,2,···,s线性表示，等同于判断x11+x22+···+xss=β是否有解。线性方程组2.定理：向量β能用向量组1,2,···,s线性表示的充要条件是：注：(1)r(1,2,···,s)=r(1,2,···,s,β)=s时，表示式唯一；(2)r(1,2,···,s)=r(1,2,···,s,β)

3、向量组B可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性表示。三、向量组间的线性表示1.定义：设有两向量组A:1,2,···,s；B:β1,β2,···,βt若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。(传递性）§3向量组的线性相关性一、线性相关性的概念引例齐次线性方程组Ax=O的向量形式为显然，其必有零解。(零向量可由任一向量组线性表示)其是否有非零解等同于是否存在一组不全为零的数k1,k2,···,kn,使得：我们关心其是否有非零解？1.定义：对于

4、向量组:1,2,···,s，如果存在一组不全为零的数k1,k2,···,ks,使得：k11+k22+···+kss=O则称向量组1,2,···,s线性相关；如果当且仅当k1=k2=···=ks=0时上式才成立，则称向量组1,2,···,s线性无关。例1=(1,1)T,2=(2,2)T线性相关。21－2=O例n维单位向量组线性无关。若则：例一个零向量线性相关，一个非零向量线性无关；例证明：若1,2线性无关，则1+2,1－2也线性无关。n维向量组:1,2,···,s线性相关等同于齐次线性方程组二、向量组线性

5、相关性的一些判定定理x11+x22+···+xss=O1.定理1：n维向量组:1,2,···,s线性相关r(1,2,···,s)

6、A

7、=0；而它只有零解的充要条件是

8、A

9、≠0.对齐次线性方程组，我们有以下结论：所以对向量，我们相应有：3.推论2：n个n维向量组:

10、1,2,···,n线性相关

11、1,2,···,n

12、=0,线性无关

13、1,2,···,n

14、≠0.向量维数向量个数例讨论的线性相关性。解：所以r(1,2,3)=2<3，从而1,2,3线性相关。注：也可通过计算得出结论。4.定理2：如果向量组中有一部分向量线性相关，则整个向量组线性相关。分析：k11+k22+···+krr=O若存在一组不全为零的数k1,k2,···,kr，使得：r≤s则：k11+k22+···+krr+0r+1+···+0s=O5.推论3：线性无关向量组中任何一部分组皆线性无关。（部分相关，则整体相关

15、）（整体无关，则部分无关）例含有零向量的向量组线性相关。或：零向量线性相关01+02+···+0s+1·O=O（部分相关，则整体相关）练习：判断以下向量组是否线性相关。1.α1=(1,2,3)T,α2=(0,4,5)T,α3=(0,0,6)T2.α1=(1,1,1)T,α2=(3,2,3)T,α3=(4,3,4)T3.α1=(1,2,3)T,α2=(2,3,4)T,α3=(3,4,5)T,α3=(4,5,6)T4.α1=(1,0,0,2,5)T,α2=(0,1,1,3,4)T,α3=(0,0,0,0,0)T练习：1.α=(1,1,1)T,β=(1

16、,3,0)T,γ=(2,4,1)T,试将α表示为β,γ的线性组合。α=－β＋γ2.讨论α1=(