齐次线性方程组解的判定、线性组合与线性相关

《齐次线性方程组解的判定、线性组合与线性相关》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、二、齐次线性方程组定理：齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组只有零解推论1：如果齐次线性方程组的方程个数小于未知数个数（m

2、A

3、=0；而它只有零解的充要条件是

4、A

5、≠0.§2向量与向量组的线性组合一、向量及其线性运算1.定义：n个有次序的数a1a2an所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量。如：行向量（行矩阵）列向量（列矩阵）2.一些特殊向量：（1）零向量：所有分量都为零的向量；（2）单位向量组：（3）的

6、每一列都是m维列向量；而其每一行都是n维行向量。1n2（3）故A可记为：3.向量的线性运算：向量的加法和数乘运算。矩阵的加法和数乘运算。线性方程组4.线性方程组的向量表示：可表示为1n2β二、向量的线性组合1.定义：给定向量组：1,2,···,s和向量β，如果存在一组数k1,k2,···,ks,使得：β=k11+k22+···+kss则称β可由向量组1,2,···,s线性表示(线性表出)；又称β是向量组1,2,···,s的线性组合。例：若任一n维向量：则β可由向量组1,2,3线性表示为：β=21－2

7、＋3例零向量可由任一向量组线性表示：例向量组1,2,···,s中的任一向量j都可由该向量组线性表示：例判断向量能否表示为向量组：的线性组合，若可以，写出表示式。解：设，即：所以x1=2,x2=1，即：β=2α1+α2.判断向量β能否用向量组1,2,···,s线性表示，等同于判断x11+x22+···+xss=β是否有解。线性方程组2.定理：向量β能用向量组1,2,···,s线性表示的充要条件是：注：(1)r(1,2,···,s)=r(1,2,···,s,β)=s时，表示式唯一；(2)r(1,2,···

8、,s)=r(1,2,···,s,β)

9、x=O的向量形式为显然，其必有零解。(零向量可由任一向量组线性表示)其是否有非零解等同于是否存在一组不全为零的数k1,k2,···,kn,使得：我们关心其是否有非零解？1.定义：对于向量组:1,2,···,s，如果存在一组不全为零的数k1,k2,···,ks,使得：k11+k22+···+kss=O则称向量组1,2,···,s线性相关；如果当且仅当k1=k2=···=ks=0时上式才成立，则称向量组1,2,···,s线性无关。例1=(1,1)T,2=(2,2)T线性相关。21－2=O例n维单位向量组线性无关。若则

10、：例一个零向量线性相关，一个非零向量线性无关；例证明：若1,2线性无关，则1+2,1－2也线性无关。n维向量组:1,2,···,s线性相关等同于齐次线性方程组二、向量组线性相关性的一些判定定理x11+x22+···+xss=O1.定理1：n维向量组:1,2,···,s线性相关r(1,2,···,s)

11、推论2：n个方程n个未知数的齐次线性方程组有非零解的充要条件是

12、A

13、=0；而它只有零解的充要条件是

14、A

15、≠0.对齐次线性方程组，我们有以下结论：所以对向量，我们相应有：3.推论2：n个n维向量组:1,2,···,n线性相关

16、1,2,···,n

17、=0,线性无关

18、1,2,···,n

19、≠0.向量维数向量个数例讨论的线性相关性。解：所以r(1,2,3)=2<3，从而1,2,3线性相关。注：也可通过计算得出结论。4.定理2：如果向量组中有一部分向量线性相关，则整个向量组线性相关。分析：k11+k22+···+krr=O

20、若存在一组不全为零的数k1,k2,···,kr，使得：r≤s则：k11+k22+···+krr+0r+1+···+0s=O5.推论3：线性无