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《一元二次方程根的分布情况归纳.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程ax2bxc0根的分布情况设方程ax2bxc0a0的不等两根为x1,x2且x1x2，相应的二次函数为fxax2bxc0，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况大致图象（a0）得出的结论大致图象（a0）得出的结论综合结论（不讨论a）两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0，x10,x20x10,x20一个大于0x10x2
2、00bbf00002a2af00f0000bbf00002a2af00f0000bbaf00002a2aaf00af001分布情况大致图象（a0）得出的结论大致图象（a0）得出的结论综合结论（不讨论a）表二：（两根与k的大小比较）两根都小于k即两根都大于k即一个根小于k，一个大于k即x1k,x2kx1k,x2kx1kx2kkk00bbfk0kk2a2afk0fk000bbfk0kk2a2afk0fk000bbafk0kk2a2aafk0afk02表三：（根在区间上的分布）分两根有且仅有一根在m,n内一根在m,n
3、内，另一根在p,q布两根都在情m,n内内，mnpq况（图象有两种情况，只画了一种）大致图象（a0）0fm0得fm0fn0fmfn0出fn0fmfn0fp0或0的fpfq结bfq0论mn2a大致图象（a0）0fm0得fm0fn0fmfn0出fn0fmfn的0p0或fpfq0结bf论mnfq02a综合结fmfn0论（——————fmfn0不fpfq0讨论a）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间m,n外，即在区间两侧x1m,x2n，（图形分别如下）需满足的条件是3（1）afm0（2）afm00时，n0；0时，n
4、0ff对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在m,n内有以下特殊情况：若fm0或fn0，则此时fmgfn0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间m,n内，从而可以求出参数的值。如方程mx2m2x20在区间1,3上有一根，因为f10，所以mx2m2x2x1mx2，另一根为2，由123得2m2mm3即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间m,n内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区
5、间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程x24mx2m60有且一根在区间3,0内，求m的取值范围。分析：①由f3gf00即14m15m30得出3m15；314②由0即242m60m1mm1x23,0m116m得出或，当时，根，即满足题意；33215当m33,0，故m3m1时，根x不满足题意；综上分析，得出或m2214根的分布练习题例1、已知二次方程2m1x22mxm10有一正根和一负根，求实数m的取值范围。解：由2m1gf00即2m1m10，从而得1m1即为所求的范围。2例2、已知方程2x2m1xm0有两个不等正实
6、根，求实数m的取值范围。解：由0m28m0m11m322或m3220m1gm022m0f0040m322或m322即为所求的范围。例3、已知二次函数ym2x22m4x3m3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1m，求实数的取值范围。解：由m2gf10即m2g2m102m1即为所求的范围。2例4、已知二次方程mx22m3x40只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则f0gf104g3m101即为所求范围。m3（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这
7、个根在0,1内，由0计算检验，均不复合题意，计算量稍大）例1、当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围：（1）方程x2axa270的两个根一个大于2，另一个小于2；（2）方程7x2(a13)xa2a20的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上；（3）方程x2ax20的两根都小于0；变题：方程x2ax20的两根都小于1．（4）方程x2(a4)x2a25a30的两根都在区间[1,3]上；（5）方程x2ax40在区间（1，1）上有且只有一解；例2、已知方程x2mx40在区间[1，1]上有解，求实
8、数m的取值范围．例3、已知函数f(x)mx2(m3)x1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围．检测反馈：1．若二次函数f(x)x2(a1)x5在区间(1,1)上是增函数，则f(2)的取值范围是___________．是关于x的方程x221)21)2的最小值为2．若、2kxk60的两个实根,则((．3x的方程x2(m2)x2m10只有一根在(0,1)内
