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1、精品文档12、(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知函数f(x)满足下列条件：①函数f(x)的定义域为[0，1]；②对于任意x[0,1],f(x)0,且f(0)0,f(1)1；③对于满足条件x10,x20,x1x21的任意两个数x1,x2,有f(x1x2)f(x1)f(x2).（1）证明：对于任意的0xy1,有f(x)f(y)；（2）证明：于任意的0x1,有f(x)2x；（3）不等式f(x)1.9x对于一切x∈[0，1]都成立吗？试说明理由.（1）证明：对于任意的0xy1,则0yx1,可得f(yx)0所以f(y)f(yxx)f(yx)f(x)f(x),即对于任意的0xy1,有f(x)f(
2、y).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（2）证明：由已知条件可得f(2x)f(x)f(x)2f(x).当x时020,0,f(0)即当x时,f(x)2x.0假设存在x00,1,使得f(x0)2x0,则x0一定在某个区间1,1(k*)上.2kk1N2设x01,1,则2x0,4x0,k12k2k1,2x0均在区间0,1内.则f(2x0)4x0,f(4x0)8x0,,f(2k1x0)2kx0.由x01k,1k1,可知12k1x01,且2kx01,222所以f(2k1x0)f(1)1,又f(2k1x0)2kx01.从而得到矛盾,因此不存在x00,1,使得f(x0)2x0.所以对于任意的0x1,有f(x)
3、2x.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分（3）解：取函数0,0x1,f(x)121,x1.2则f(x)显然满足题目中的（1），（2）两个条件，任意取两个数x1,x2,使得x10,x20,x1x21,。1欢迎下载精品文档若x1,x2[0,1],则f(x1x2)0f(x1)f(x2),2若x1,x2分别属于区间[0,1]和1,1中一个,22则f(x1x2)1f(x1)f(x2),而x1,x2不可能都属于1,1,2综上可知,f(x)满足题目中的三个条件.而f(0.51)11.90.510.969.即不等式f(x)1.9x并不对所有x[0,1]都成立.13、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)
4、一个函数fx，如果对任意一个三角形，只要它的三边长a,b,c都在fx的定义域内，就有fa,fb,fc也是某个三角形的三边长，则称fx为“保三角形函数”．（I）判断f1xx，f2xx，f3xx2中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；（II）如果gx是定义在R上的周期函数，且值域为0,，证明gx不是“保三角形函数”；（III）若函数Fxsinx，x0,A是“保三角形函数”，求A的最大值．（可以利用公式sinxsiny2sinxycosxy）22解：（I）f1x,f2x是“保三角形函数”，f3x不是“保三角形函数”．1分任给三角形，设它的三边长分别为a,b,c，则abc，不妨假设a剟c,
5、bc，由于ababc0，所以f1x,f2x是“保三角形函数”.3分对于f3x，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但323252，所以不存在三角形以32,32,52为三边长，故f3x不是“保三角形函数”．4分（II）设T0为gx的一个周期，由于其值域为0,，所以，存在nm0，使得gm1,gn2，。2欢迎下载精品文档nmTm,Tm,n这三个数可作为一个三角形的三边长，取正整数，可知T但gTm1，gTm1,gn2不能作为任何一个三角形的三边长．故gx不是“保三角形函数”．8分（III）A的最大值为5．9分65一方面，若A，下证Fx不是“保三角形函数”.6取,5,50,A，显然这三个数可作为一个三角
6、形的三边长，但266sin1,sin51,sin51不能作为任何一个三角形的三边长，故Fx不是26262“保三角形函数”.另一方面，以下证明A5是“保三角形函数”．时，Fx6(0,5)，则分类讨论如下：对任意三角形的三边a,b,c，若a,b,c（1）abc⋯26，此时a⋯2bc255，同理，b,c，6633∴a,b,c(,5)，故saibnc1,s，in,11362sinasinb1⋯sinc．22同理可证其余两式.∴sina,sinb,sinc可作为某个三角形的三边长．（2）abc2此时，abc，可得如下两种情况：22ab≤时，由于abc，所以，0ca2b≤.2222由sinx在(0,]上的
7、单调性可得0sincsina2b≤1；ab2cab2，22时，0222同样，由sinx在0,上的单调性可得0sincsinab1；222总之，0sincsinab≤1.252又由abc0,上单调递减，得及余弦函数在6。3欢迎下载精品文档cosababcos50，cos2cosc2212∴sinasinb2sinabcosab2sinccoscsinc．22225同理可证其余两式，所以sina,si
