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《2020数学(文)二轮专题限时集训：11圆锥曲线中的综合问题Word版含解析.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题限时集训(十一)圆锥曲线中的综合问题(建议用时：40分钟)1．(2019·西安模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，x轴上方的点5A(2，m)在抛物线E上，且
2、AF
3、＝2，直线l与抛物线E交于M，N两点(点M，N与A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2.(1)求抛物线E的方程；(2)当k1＋k2＝2时，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．p5[解](1)由抛物线的定义得
4、AF
5、＝2＋2＝2，得p＝1，所以，抛物线E的方程为y2＝2x.(2)证明：如图所示，易知直线l的斜率存在且不等于零，设直线l的方程为y＝kx＋b，y＝kx＋b，联立直
6、线l与抛物线E的方程得k2x2＋y2＝2x，(2kb－2)x＋b2＝0，2－2kb设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(2,2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝k2，x1x22y1－2y2－21＋b－2x2－2＋kx2＋b－2x1－2bkx＝k2，k1＋k2＝x1－2＋x2－2＝x1－2x2－2b22－2kb2k·2＋b－2k－2·2＋8－4bkk＝22－2kbbk2－2·k2＋42＋b－2k－22－2kb＋8－4bk2＝2kb22＝2，b－22－2kb＋4k化简得出(b＋1)(b＋2k－2)＝0，∴b＝－1或b＝2－2k.当b＝－1时，y＝kx－1，过定点(0，－1)
7、；当b＝2－2k时，y＝kx＋2－2k＝k(x－2)＋2，过定点(2,2)，舍去，故直线l恒过定点(0，－1)．x2y22．(2019·马鞍山二模)已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，点3M1，2在椭圆C上且MF垂直于x轴．(1)求椭圆C的方程；(2)设P为椭圆C上的动点，直线PM与x＝4交于点N，求证：点N到直线PF的距离为定值，并求出这个定值．c＝1，[解](1)由题意可得19＝1，22＝3，a＋4b解得a＝4，b22a2＝b2＋c2，x2y2故椭圆C的方程为4＋3＝1.3(2)证明：设点P的坐标为(x0，y0)，由M1，2，33y0－2可得直线PM的
8、方程为y－2＝x0－1(x－1)，33y0－23将x＝4，代入可得y＝x0－1＋2，33y0－故点N23，∵F(1,0)，y0∴直线PF的方程为y＝x0－1(x－1)，即y0x＋(1－x0)y－y0＝0.∴点N到直线PF的距离为4y0＋1－x0·3y0－33－y02＋0－122x21－x00＋y33＝6－2x02
9、4－x0
10、＝232＋1－2x＋x21－23－x000042x32
11、4－x0
12、＝1＝3，2
13、x0－4
14、故N到直线PF的距离为定值，定值为3.x2y23．(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
15、(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．[解](1)连接1．由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F12PF(图略)PF＝90°，
16、PF2＝，1＝3c，于是＝1＋2＝＋，故C的离心率为
17、c
18、PF
19、2a
20、PF
21、
22、PF
23、(31)cce＝a＝3－1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当1yyx2y2
24、y
25、2c·＝16，·＝－1，2＋2＝1，2x＋cx－cab即c
26、y
27、＝16，①x2＋y2＝c2，②x2y2a2＋b2＝1.③由②③及222a＝b＋c得2
28、b4y＝c2.又由①知2162y＝c2，故b＝4.由②③及222a＝b＋c得2a222x＝c2(c－b)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥42.当b＝4，a≥42时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[42，＋∞)．4．已知椭圆x2y2M：a2＋3＝1(a＞0)的一个焦点为F(－1,0)，左、右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．(1)求椭圆M的方程；(2)[一题多解]记△ABD与△ABC的面积分别为[解](1)因为F(－1,0)为椭圆M的焦点，所以S1和S2，求
29、S1－S2
30、的最大值．c＝1，又b
31、＝3，所以a＝2，所以椭圆Mx2y2的方程为4＋3＝1.(2)法一：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，此时△ABD与△ABC的面积相等，即
32、S1－S2
33、＝0.当直线l的斜率存在时，设C(x，y，，y2)，直线l的方程为y＝k(x＋≠0)，11)D(x21)(k与椭圆M的方程联立，消去y，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，＞0恒成立，22且x1＋x2＝－8k2，x12＝4k－1223＋4kx3＋4k.此时
34、S1－S2
35、＝2
36、
37、y2
38、－
39、y1
40、
41、＝2
42、y1＋y2
43、＝2
44、k(x1＋1)＋
