2020数学(理)二轮专题限时集训：11 圆锥曲线中的综合问题 Word版含解析.pdf

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1、专题限时集训(十一)圆锥曲线中的综合问题(建议用时：20分钟)x2y231．[易错题]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为2.a2b22(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若k·kOMON5＝，求原点O到直线l的距离的取值范围．4c3[解](1)由题意知e＝＝，2b＝2，又a2＝b2＋c2，所以b＝1，a＝2，a2x2所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.4(2)设M(x，y)，N(x，y)，1122y＝kx＋m，由x2得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.

2、＋y2＝1，4则Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)＞0，化简得m2＜4k2＋1.①8km4m2－4x＋x＝－，xx＝，yy＝(kx＋m)(kx＋m)＝k2xx＋km(x＋x)124k2＋1124k2＋112121212＋m2，5yy5若k·k＝，则12＝，即4yy＝5xx，所以4k2xx＋4km(x＋x)＋4m2OMON4xx41212121212＝5xx，则(4k2－5)xx＋4km(x＋x)＋4m2＝0，1212124m2－18km5所以(4k2－5)·＋4km·－＋4m2＝0，化简得m2＋k2＝.②4k2

3、＋14k2＋14615由①②得0≤m2＜，＜k2≤.52045－k2

4、m

5、m24因为原点O到直线l的距离d＝，所以d2＝＝＝－1＋1＋k21＋k21＋k29，41＋k2158214又＜k2≤，所以0≤d2＜，解得0≤d＜.20477214所以原点O到直线l的距离的取值范围为0，.72．(2019·北京高考)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以A

6、B为直径的圆经过y轴上的两个定点．[解](1)由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2.所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.(2)抛物线C的焦点为F(0，－1)．设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)．y＝kx－1，由得x2＋4kx－4＝0.x2＝－4y设M(x，y)，N(x，y)，则xx＝－4.112212y直线OM的方程为y＝1x.x1x令y＝－1，得点A的横坐标x＝－1.Ay1x同理得点B的横坐标x＝－2.By2设点D(0，n)，→x1，－1－n，DB→＝－x2，－1－n，则DA＝

7、－yy12→→xxDA·DB＝12＋(n＋1)2yy12xx＝12＋(n＋1)2x2x2－1－24416＝＋(n＋1)2xx12＝－4＋(n＋1)2.→→令DA·DB＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，则n＝1或n＝－3.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，－3)．题号内容押题依据直线与椭圆的位置关系及椭圆方程的求解是椭圆标准方程的求法，高考常规性问题，注重双基，体现运算能力，1直线与椭圆的位置关系证明问题、考查学生的逻辑推理的素养，符合证明问题高考最近动态探索性问题是一种动态问题，可以较好的

8、考查待定系数法求曲线的方学生的动手、动脑能力，而“设而不求”思想2程，设而不求的思想，是解答圆锥曲线常用的方法，符合高考最新动探索性问题态x2y23【押题1】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为F，a2b223且该椭圆过点1，－.2(1)求椭圆C的方程；43(2)当动直线l与椭圆C相切于点A，且与直线x＝相交于点B时，求证：3△FAB为直角三角形．c313[解](1)由题意得＝，＋＝1，又a2＝b2＋c2，所以b2＝1，a2＝4，即椭a2a24b2x2圆C的方程为＋y2＝1.4(2)由题意可得直线l的斜率存在，

9、y＝kx＋m，设l：y＝kx＋m，联立x2＋y2＝1，4得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，判别式Δ＝64k2m2－16(4k2＋1)(m2－1)＝0，得m2＝4k2＋1＞0.－8km－8km4k－4k21设A(x，y)，则x＝＝＝－，y＝kx＋m＝＋m＝，11124k2＋12m2m11mm4k1即A－，.mm4343易得B，k＋m，F(3，0)，33→4k1→343则FA＝－－3，，FB＝，k＋m，mm33→→34k14343k43kFA·FB＝－－3＋

10、k＋m＝－－1＋＋1＝0，3mm33m3m→→所以FA⊥FB，即△FAB为直角三角形，得证．【押题2】如图，由部分抛物线y2＝mx＋1(m＞0，x≥0)和半圆x2＋y2