抛物线的性质归纳及证明.docx

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1、抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.性质及证明过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),倾斜角为,中点为C(x,y),分别过A、B、C作抛物线准线的垂线，垂足为A’、B’、C’.001.求证：①焦半径

2、AF

3、x1pp；②焦半径

4、BF

5、x2pp;21cos22p1cos③1＋1＝2；④弦长

6、AB

7、＝x1＋x2＋p=；特别地，当x1=x2(=90)

8、AF

9、

10、BF

11、psin2p2时，弦长

12、AB

13、最短，称为

14、通径，长为2p；⑤△AOB的面积△OAB＝.S2sinp，

15、BF

16、＝

17、BC

18、＝x2p，证明：根据抛物线的定义，

19、AF

20、＝

21、AD

22、＝x1＋2＋2

23、AB

24、＝

25、AF

26、＋

27、BF

28、＝x1＋x2＋p如图2，过A、B引x轴的垂线AA1、BB1，垂足为yA、B，那么

29、RF

30、＝

31、AD

32、－

33、FA1

34、＝

35、AF

36、－

37、AF

38、cos，DA(x1，y1)11∴

39、AF

40、＝

41、RF

42、＝p1－cos1－cos同理，

43、BF

44、＝

45、RF

46、＝pB1ROFA1x1＋cos1＋cos∴

47、AB

48、＝

49、AF

50、＋

51、BF

52、＝p＋p＝2p.CB(x2，y2)sin21－cos1＋cos

53、1

54、

55、y111p图2S△OAB＝S△OAF＋S△OBF＝

56、OF

57、＋

58、OF

59、

60、y1

61、＝··(

62、y12222

63、＋

64、y1

65、)∵y1y2＝－p2，则y1、y2异号，因此，

66、y1

67、＋

68、y1

69、＝

70、y1－y2

71、∴S△OAB＝p

72、y1－y2

73、＝p(y1＋y2)2－4y1y2＝p4m2p2＋4p2＝p21＋m2＝p2.44422sin12.求证：①xx12p2；②y1y2p2；③1＋1＝2.4

74、AF

75、

76、BF

77、p当AB⊥x轴时，有AFBFp，成立；当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：ykxp.代入抛物线方程：2p2p2k22x2pk2k

78、201x2px.化简得：k2x24∵方程（1）之二根为x，x，∴x1x2k2.124111111x1x2p2AFBFAA1BB1x1pppx1px2x22x1x2224x1x2px1x2p2y.22px1A'Appx1x2px2pp4242C'C3.求证：AC'BA'FB'Rt∠.KOFxB'B先证明：∠AMB＝Rt∠【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图3，y则DA(x1，y1)△ADM≌△ECM，∴

79、AM

80、＝

81、EM

82、，

83、EC

84、＝

85、AD

86、MNOx∴

87、BE

88、＝

89、BC

90、＋

91、CE

92、＝

93、BC

94、＋

95、AD

96、RF＝

97、BF

98、＋

99、AF

100、

101、＝

102、AB

103、ECB(x2，y2)2图3∴△ABE为等腰三角形，又M是AE的中点，∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠【证法二】取AB的中点N，连结MN，则111

104、MN

105、＝2(

106、AD

107、＋

108、BC

109、)＝2(

110、AF

111、＋

112、BF

113、)＝2

114、AB

115、，∴

116、MN

117、＝

118、AN

119、＝

120、BN

121、∴△ABM为直角三角形，AB为斜边，故∠AMB＝Rt∠.【证法三】由已知得C(－p，y2)、D(－p，y112)，由此得M(－p，y＋y).222212－p2y＋yp(y1－)y1－2y1－y2p(y1－y2)y∴kAM＝＝2＝p，同理kBM＝p2＝2＝1x1＋py1＋

122、py1＋p2y1＋p2y1y222·2p∴kp·p＝p2＝p2＝－1AM·kBM＝1212－p2yyyyy∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠.DApp【证法四】由已知得C(－2，y2)、D(－2，y1)，由此得M(－p，y1＋y2).22→y－y→＝(x3＋p，y－y∴MA＝(x1＋p，1)，MB2)212222→→pp(y1－y2)(y2－y1)∴MA·MB＝(x1＋)(x2＋)＋422pp2(y－y)2＝x1x2＋(x1＋x2)＋－12424＝p2＋p(y12＋y22)＋p2－y12＋y22－2y1y2422p2p4422

123、－p2＝p＋y1y2＝p＋2＝0222→→，故∠AMB＝Rt∠.∴MA⊥MB【证法五】由下面证得∠DFC＝90，连结FM，则FM＝DM.又AD＝AF，故△ADM≌△AFM，如图4∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠41M243ROFxCB图43∴∠2＋∠3＝12×180＝90∴∠AMB＝Rt∠.接着证明：∠DFC＝Rt∠【证法一】如图5，由于

124、AD

125、＝

126、AF

127、，AD∥RF，故可设∠AFD＝∠ADF＝∠DFR＝，同理，设∠BFC＝∠BCF＝∠CFR＝，而∠AFD＋∠DFR＋∠BFC＋∠CFR＝180∴2(＋)＝180，即＋＝90，故∠

128、DFC＝90【证法二】取CD的中点M，即M(－p，y1＋y2)22p－y2－y2p由前知kAM＝y1，kCF＝＋p＋p＝p＝y122yDA(x1，y1)Op，0)RF(x2CB(x2，y2)图5yD1DA(x1，y1)GMORFxH∴kAM＝kCF，AM∥CF，同理，BM∥DFCB(