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1、抛物线及其性质1．抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p几何意义开口方向标准方程焦点位置焦点坐标准线方程范围对称轴顶点坐标离心率通径焦半径A(x1,y1)焦点弦长AB焦点弦长AB的补充A(x1,y1)B(x2,y2)参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.右左上下y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)X正X负Y正Y负(p,0)(p,0)(0,p)(0,p)2222pppypxx
2、y2222x0,yRx0,yRy0,xRy0,xRX轴X轴Y轴Y轴（0,0）e12pAFpAFx1pAFy1pAFpx122y122(x1x2)p(x1x2)p(y1y2)p(y1y2)p以AB为直径的圆必与准线l相切若AB的倾斜角为，2p若AB的倾斜角为，则AB2pAB2cos2sinx1x2p2y1y2p2411AFBFAB2AFBFAF?BFAF?BFp3．抛物线y22px(p0)的几何性质：(1)范围：因为p>0，由方程可知x≥0，所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，
3、y
4、也增大，说明
5、抛物线向右上方和右下方无限延伸．1(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向．(3)顶点（0，0），离心率：e1，焦点F(p,0)，准线xp，焦准距p．22(4)焦点弦：抛物线y22px(p0)的焦点弦AB，A(x1,y1),B(x2,y2),则
6、AB
7、x1x2p．弦长
8、AB
9、=x1+x2+p,当x1=x2时，通径最短为2p。4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，焦点F(p,0)2(1)若AB是抛物线y22px(p0)的焦点弦（过焦点的弦），且A(x1,y1)
10、，B(x2,y2)，则：x1x2p2，4y1y2p2。(2)若AB是抛物线y22px(p0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则AB2Psin2（α≠0）。(3)已知直线AB是过抛物线y22px(p0)焦点F,11AFBFAB2AFBFAF?BFAF?BFp(4)焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．(5)两个相切：○1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。5．弦长公式：A(x1,y1)
11、,B(x2,y2)是抛物线上两点，则AB(x1x2)2(y1y2)21k2
12、x1x2
13、112
14、y1y2
15、k6.直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y得：（1）当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k≠0时，＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；=0，直线l与抛物线相切，一个切点；＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）7.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l：ykxb抛物线，(p0)①联立方程
16、法：ykxb2(kbp)xb20y2k2x22px2设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则有0,以及x1x2,x1x2，还可进一步求出y1y2kx1bkx2bk(x1x2)2b，y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a.相交弦AB的弦长AB1k2x1x21k2(x1x2)24x1x21k2a或AB11y1y211(y1y2)24y1y21k2k2k2ab.中点M(x0,y0),x0x1x2，y0y1y222②
17、点差法：设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，得y122px1y222px2将两式相减，可得(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)y1y22px1x2y1y2a.在涉及斜率问题时，kAB2py1y2b.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(x0,y0)，y1y22p2pp，x1x2y1y22y0y0即kABp，y0同理，对于抛物线x22py(p0)，若直线l与抛物线相交于A、B两点，点M(x0,y0)是弦AB的中点，则有kABx1x22x0x02p2pp（注意能用
18、这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）3【经典例题】（1）抛物线——二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.【例1】P为抛物线y22px上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（）A.相交B.相切C.相离【解析】如图，抛物线的焦点为Fp
