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1、复变函数课件-第三章复变函数的积分解读暨南大学复变函数教学课件DepartmentofMathematics第一节复积分的概念及其简单性质1、复变函数积分的的定义2、积分的计算问题3、基本性质第三章 复变函数的积分同微积分一样，在复变函数中，积分法也是研究复变函数性质十分重要的方法．在解决实际问题中也是有力的工具．本章先介绍复变函数积分的概念，性质和计算方法然后介绍关于解析函数积分的柯西－古萨基本定理及其推广，有了这些基础，我们建立柯西积分公式，最后证明解析函数的导数仍是解析函数，从而导出高阶导数公式复变函数的积分按照关于实
2、变函数的线积分的结果，当曲线C上的分点个数无穷增加，而且时，上面的四个式子分别有极限：这时，我们说原和式有极限复变函数的积分这个极限称为函数f(z)沿曲线C的积分，记为因此，我们有复变函数的积分如果C是简单光滑曲线：，并且，那么上式右边的积分可以写成黎曼积分的形式，例如其中第一个可以写成因此，我们有复变函数的积分我们可以看到，把dz形式地换成微分，就直接得到上式，因此有当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论。2复变函数积分的性质：复变函数积分的基本性质：设f(z)及g(z)在简单曲线C上连续，则有（1）（2）（3）
3、其中曲线C是由光滑的曲线连接而成；（4）积分是在相反的方向上取的。复变函数积分的性质：如果C是一条简单闭曲线，那么可取C上任意一点作为取积分的起点，而且积分当沿C取积分的方向改变时，所得积分相应变号。（5）如果在C上，
4、f(z)
5、6、oxy例4解解:例4本节结束谢谢！第二节柯西积分定理3.2.1Cauchy积分定理3.2.2Cauchy定理的推广3.2.3复周线情形的Cauchy定理3.2.4小结与思考3.2.4不定积分引言:目的研究复积分与路径的无关性:由例3.1受到的启发积分与路径无关与函数沿着围线的积分值为零有何关系首先:若复积分与路径无关,则对任意围线C,ab在其上任取两点按a(起点),b(终点)CC2C1将曲线C分成两部分因为积分与路径无关,所以:结论1:若函数f(z)的积分与路径无关,反之:若对任意围线C,f(z)沿着C的积分为零,若复积
7、分与路径无关,则对任意两条以a为起点,b为终点的曲线C1,C2,令:C2C1ab则C是周线，从而：结论2:函数f(z)的积分与路径无关,观察上节例3.1观察上节例3.2目的研究复积分与路径的无关性:转换为研究函数沿着周线的积分为零:由以上讨论可知,积分是否与路线有关,可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.受此启发,Cahchy与1825年给出如下定理1900,法国数学家Goursat给出如下定理:如果f(z)A(D)f'(z)A(D)f'(z)C(D),这样就得到了定理3.33.3.单连通区域的Cauchy积分
8、定理定理3.3柯西－古萨基本定理定理中的C可以不是简单曲线.此定理常称为柯西积分定理.柯西介绍古萨介绍不必是简单闭曲线推论3.4柯西定理推论3.5柯西定理3.2.2Cauchy定理的推广与定理3.3等价的形式是:如果周线C的内部是区域,(I(C)=D)定理3.9如果C是周线,I(C)=D是区域定理3.3例1解根据柯西定理,有例2证由柯西－古萨定理,由柯西－古萨定理,由上节例4可知,例3解根据柯西－古萨定理得3.3.4复周线情形的Cauchy定理根据本章第一节例4可知,由此希望将基本定理推广到多连域中.1.闭路变形原理︵︵︵
9、︵︵︵︵︵︵︵得︵︵︵︵解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理说明:在变形过程中曲线不经过函数f(z)的不解析的点.2.复周线情形的Cauchy定理则称C+C1-+C2-+···+Cn-为复围线,D为其内部,记为I(D).这个定理是计算周线内部有奇点的积分的有利武器!!!解依题意知,例4根据复合闭路定理3.10,打洞!Cauchy定理重要公式Cauchy定理重要公式例5解圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,例6解由复合闭路定理,此结论非常重要,用起来很方便,因为C不必是圆,
10、a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线C内即可.重要积分公式例3.2例7解由上例可知3.2.4原函数与不定积分定理3.5由定理3.5可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,(如下页图)1.带活动上限的积分:定理3.6证利用导数的定义来证.定理3.6(1)由于积分与路线无关,由积
