最新弹性力学与有限元法2课件PPT.ppt

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1、弹性力学与有限元法2第二章平面问题的基本理论平面问题的数学描述已知的几何参数和载荷（表面力和体积力）只与两个坐标，例如x、y有关，而与z无关；15个未知函数中只存在有oxy平面内的分量，且只是x、y的函数，其余分量或不存在，或可以用oxy平面内的分量表示；基本方程式是二维的。第二章平面问题的基本理论§2-1平面应力问题与平面应变问题如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的是某种特殊的外力，就可以把空间问题简化为近似的平面问题。平面应力问题几何形状特征：物体在一个坐标方向（例如z）的几何尺寸远远小于其他

2、两个坐标方向的几何尺寸，如图所示的薄板。载荷特征：在薄板的两个侧表面上无表面载荷，作用于边缘的表面力平行于板面，且沿厚度不发生变化，或虽沿厚度变化但对称于板的中间平面，体积力亦平行于板面且沿厚度不变。由对称条件可知，根据剪应力互等，由虎克定律，得出第二章平面问题的基本理论在平面应变问题中，独立的未知函数有8个，只是x和y的函数，不随z而变化。注意：由于z方向的伸缩被阻止，所以由广义虎克定律得到在弹性力学里分析问题，要从三个方面来考虑：静力学方面、几何学方面和物理学方面。首先考虑平面问题的静力学方面，根据平衡条

3、件来导出应力分量与体积力分量之间的关系式，也就是平面问题的平衡微分方程。§2-2平衡微分方程第二章平面问题的基本理论第二章平面问题的基本理论连续性假设小变形假设略去二阶以及二阶以上的微量假设AD面处的正应力为σx，由于BC面相对于AD面x坐标有dx的增量，应力也将有相应的增量，BC面处的正应力可以用泰勒级数表示为根据微元体处于平衡的条件，可以得到三个平衡微分方程。第二章平面问题的基本理论（一）作用于体心M的合力矩为零，即略去微量，整理，得出证明了剪应力互等定理。（二）x方向的合力为零，即第二章平面问题的基本理

4、论整理后，得（三）y方向的合力为零，即类似于上式，可得平面问题的平衡微分方程x方向PA的正应变第二章平面问题的基本理论§2-3几何方程y方向PB的正应变几何方程表明了应变分量与位移分量之间的关系。P′′A′′′P′′′B′′′PA与PB所夹直角的改变，即剪应变由两部分组成：x方向线素PA向y方向的转角，记为，和y方向线素PB向x方向的转角，记为，即第二章平面问题的基本理论由上图可知，在小变形下，，所以同理，所以综合以上所列各式，得出平面问题的几何方程式第二章平面问题的基本理论要保证物体的位移是连续的，则应变分

5、量之间必须满足一定的条件，即变形协调方程，或相容方程。应变分量与应力分量之间的关系，即物理方程，也称为本构方程。第二章平面问题的基本理论§2-4物理方程在完全弹性的各向同性体内，应变分量与应力分量之间的关系由胡克定律导出E是弹性模量，G是剪切弹性模量，是侧向收缩系数，又称为泊松比。平面应力问题的物理方程第二章平面问题的基本理论在平面应力问题中，由胡克定律，得，可以用来求得薄板厚度的改变。因为在平面应力问题中有和，所以有和第二章平面问题的基本理论平面应变问题的物理方程在平面应变问题中，因为物体的所有各点都不沿

6、z方向移动，即w=0，所以z方向的线段都没有伸缩，即由胡克定律，得，代入胡克定律，得平面应变问题的物理方程可以看出，在平面应力问题的物理方程中，将E换为第二章平面问题的基本理论因为在平面应变问题中也有和，所以有和换为，就得到平面应变问题的物理方程。同样可以看出，在平面应变问题的物理方程中，将E换为，换为，就得到平面应力问题的物理方程。引入记号第二章平面问题的基本理论§2-5平面问题基本方程式的综合与矩阵表示—应力分量列阵—应变分量列阵—位移分量列阵—体积力分量列阵—微分算子矩阵第二章平面问题的基本理论用应

7、力、应变、位移分量表示的基本方程平衡微分方程或几何方程或第二章平面问题的基本理论物理方程（平面应力）（平面应变）统一写为用应变表示应力其中矩阵[D]称为弹性矩阵或应力应变关系转换矩阵第二章平面问题的基本理论（平面应力）（平面应变）这样，用应力、应变和位移分量表示的弹性力学平面问题基本方程可以表示为第二章平面问题的基本理论方程组的总数是8个：2个平衡方程，3个几何方程和3个物理方程。所包含的未知函数也是8个：3个应力分量；3个应变分量；2个位移分量。常从该方程组出发按位移求解。第二章平面问题的基本理论用应力和应

8、变分量表示的基本方程平衡微分方程连续性方程引入二阶微分算子行阵或或第二章平面问题的基本理论物理方程用应力表示应变（平面应力）（平面应变）统一写为第二章平面问题的基本理论其中[C]是弹性矩阵[D]的逆矩阵。（平面应力）（平面应变）第二章平面问题的基本理论这样，用应力和应变分量表示的弹性力学平面问题基本方程可以表示为方程组的总数是6个：2个平衡方程，1个连续性方程和3个物理方程。所包含的未知函数也是6个