传热学第三章－非稳态导热－.ppt

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1、§3-3一维非稳态导热的分析解当几何形状及边界条件都比较简单时,可获得分析解。3-3-1无限大的平板的分析解考察厚度2的无限大平壁得情况。设、a为已知常数；=0时温度为t0；突然把两侧介质温度降低为t并保持不变；已知壁表面与介质之间的表面传热系数为h。两侧冷却情况相同、温度分布对称。中心为原点。则导热微分方程为：初始条件：边界条件：引入：则，导热方程可改写为：定解条件可改写为：采用分离变量法求解：取于是有：T只为的函数X只为x的函数则由：得：只能为常数得到对积分式中C1是积分常数，常数值D的正负可以从物理概念上加以确定。当时间τ趋于无穷大时，过程达到稳态，物体达

2、到周围环境温度，所以D必须为负值，否则物体温度将无穷增大。令则有以及以上两式的通解为：于是，得（a）常数A、B和β可由下边定解条件确定。(1)(2)(3)由边界条件（2），得B=0把边界条件（3）代入(b)，得于是（a）式成为（b）（c）将右端整理成：注意，这里Bi数的尺度为平板厚度的一半。显然，β是两曲线交点对应的所有值。式(c)称为特征方程。β称为特征值。分别为β1、β2……βn。….将无穷个解叠加，得：至此，我们获得了无穷个特解：An可利用初始条件求取于是，得到解的最后形式为：令βnδ=μn最后得：（傅立叶数）—无量纲距离由于得而于是，最后可得到解得形式为：定义无量

3、纲的热量其中Q为0时间内传导的热量（内热能的改变量）为初始时刻至无穷时间内的总传导热量（物体内能改变总量）于是有:是时刻物体的平均过余温度。这里:3-3-2非稳态导热的正规状况阶段当Fo>0.2时，采用级数的第一项计算偏差小于1%，故当Fo>0.2时,由:其中1是第一特征值，是Bi的函数。Bi0.010.050.10.51.05.0105010010.09980.2210.3110.6530.8601.3141.4291.5401.5551.571得:（d）为了分析这时温度分布的特点，将上式取对数，得：式右边第一项是时间的线性函数，的系数只与Bi有关，

4、即只取决于第三类边界条件、平壁的物性与几何尺寸。而右边第二项只与Bi、x/有关，与时间无关。上式说明，当Fo>0.2,平壁内所有各点过余温度的对数都随时间线性变化，并且变化曲线的斜率都相等,这一温度变化阶段称为非稳态导热的正规状况阶段。即：比值与无关，仅与几何位置(x/)及边界条件(Bi数)有关。这表明初始条件的影响已经消失，无论初始分布如何，无量纲温度都是一样的。此时非稳态导热已进入正规状态或充分发展阶段。Fo>0.2时，任一点过余温度与中心过余温度m之比为（e）令x=，还可以计算平壁表面温度和中心温度的比值。另外，由表3-1可知，当Bi<0.1时，1

5、<0.3111，从而cos(1)>0.95。即当Bi<0.1时，平壁表面温度和中心温度的差别小于5%，可以近似认为整个平壁温度是均匀的。这就是3-2节集总参数法的界定值定为Bi<0.1的原因。（f）两边对时间求导，得上式左边是过余温度对时间的相对变化率，称为冷却率（或加热率）。上式说明，非稳态导热进入正规状况阶段后，物体所有各点的冷却率或加热率都相同，且不随时间而变化，其值仅取决于物体的物性参数、几何形状与尺寸以及表面传热系数。由式其一是利用式（d）的计算步骤：计算Bi→1计算F0,0计算任一位置x处的（x,），式（d）3-3-3正规状况阶段的实用计算方法对于

6、Fo0.2时无限大平壁的非稳态导热过程，其温度场可按公式(d)计算；也可用诺谟图计算，其中用于确定温度分布的图线称为海斯勒图。（2）采用海斯勒（Heisler）图计算为平板中心的过余温度由式其中求出了无限大平壁的温度分布后，就可以求出经过时间内每平方米平壁与外界交换的热量：显然，Q/Q0亦是Fo和Bi的函数利用海斯勒线图计算步骤a）对于由时间求温度的步骤为:计算Bi数、Fo数和x/δ，从图中查找θm/θ0和θ/θm，计算出，最后求出温度tb)对于由温度求时间步骤为，计算Bi数、x/δ和θ/θ0,从图中查找θ/θm,，计算θm/θ0然后从图中查找Fo,再求出时间。c）

7、平板吸收（或放出）的热量，可在计算Q0和Bi数、Fo数之后，从图3-6中Q/Q0查找，再计算出3-3-4其它形状物体的加热或冷却1）无限长圆柱和球体圆柱可以求出分析解，但目前更多使用图解法求解过程有以下两点值得注意：当F0≥0.2时，与无限大平壁类似，无限长圆柱体或球体的加热或冷却过程进入了正常阶段；当Bi<0.1时，对于无限长圆柱体或球体，同样可以采用集总热容法计算由式3-3-5Fo数及Bi数的影响(1)当Bi数一定时，随Fo的增加而减小，即随着时间的增加（Fo增加），物体温度越来越接近流体温度。(2)当Fo数一定时，Bi