最新数值积分法教学讲义ppt.ppt

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1、数值积分法目录1基本问题2时域积分法的构造3Newmark法4方法特点比较1.数值算法中的基本问题车辆运动方程算法评价准则根据是否需要联立求解耦联方程组，逐步积分法可分为两大类：隐式方法逐步积分计算公式是偶联的方程组，需联立求解，计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的平方成正比，例如Newmark-β法、Wilson-θ法。显式方法逐步积分计算公式是解偶的方程组，无需联立求解，计算工作量小，增加的工作量与自由度成线性关系，如中心差分方法（无阻尼时）。2.一般时域逐步积分法的构造时域逐步积分方法是构造出根据某一时刻及

2、其以前时刻的运动，推算下一时刻运动的递推计算公式。具体情况可表述为，设体系在ti及ti以前时刻的运动已知，求ti＋1时刻的运动（ti＝iΔt）。体系在ti＋1时刻的运动包括：位移、速度和加速度，需要有三个方程（条件）求这三个量。因此，除体系的运动方程外，还需补充两个方程（条件）。·两个补充方程可以通过对运动状态的假设得到。例如可以假设在ti和ti＋1时刻，即Δt时间段内，体系的加速度为常数a，则积分(不定积分)得到体系的速度和位移为：其中，τ为由ti时刻起算的局部时间坐标，c1和c2为积分常数。积分常数c1和c2可由

3、τ＝0时的初值条件确定：最后得：当τ＝Δt，即t＝ti＋1时刻，体系得运动状态为：假设：ti和ti＋1时间段内的常加速度a=(üi+1+üi)/2，则得到：再加上ti＋1时刻的运动方程：可以求得ti＋1时刻的位移、速度和加速度。以上方法也称为平均加速度法，即假设加速度为ti和ti＋1时间段内的平均值：也可以假设加速度a为其它形式的变化规律，例如为线性变化：则采用同样的分析步骤可以得到线性加速度法的时域逐步积分公式。3.Newmark-β法Newmark-β同样将时间离散化，运动方程仅要求在离散的时间点上满足。假设在t

4、i时刻的运动均已求得,然后计算ti+1时刻的运动。它是通过对加速度的假设，以ti时刻的运动量为初始值，通过积分得到计算ti+1时刻的运动公式。与平均加速度法和线性加速度法不同的是，它用不同的加速度假设条件给出速度和位移的计算公式。Newmark-β法假设在时间段[ti，ti+1]内，加速度为一常量，记为a，经过简单积分计算可以得到速度、位移与a之间的关系式(为得到稳定和高精度的算法，a同时由两个控制参数表示)：得到ti+1时刻的速度和位移：得到Newmark-β法的两个基本递推公式：解这两个递推公式，可以得到如下ti

5、+1时刻的速度和加速度的计算公式：由计算公式给出的运动满足ti+1时刻的运动控制方程：其中：将计算公式代入运动方程得到位移ui+1的计算公式：多自由度体系Newmark-β法的逐步积分公式2.对每个时间步的计算：（1）计算t+Dt时刻的有效荷载：)}{}{}{]([)}{}{}{]([}{}{541320ttttttttttuuuCuuuMFF&&&&&&aaaaaaDD++++++=++（2）求解t+Dt时刻的位移：[]ttttFuKD+D+=}{}{（3）计算t+Dt时刻的速度和加速度：tttttttuuuuu}

6、{}{)}{}({}{320&&&&&aaaDD---=++ttttttuuuuDDaa++++=}{}{}{}{76&&&&&&在Newmark-β法中，控制参数β和γ的取值影响着算法的精度和稳定性，可以证明，只有当γ取1/2时，这个方法才具有二阶精度，因此一般均取：γ=1/2,0≤β≤1/4Newmark-β法的稳定性条件：当γ=1/2,β=1/4时，Δt≤∞，即成为无条件稳定的。Newmark-β方法是一种无条件稳定的隐式积分格式，时间步长Δt的大小不影响解的稳定性，Δt的选择主要根据解的精度确定。通过对New

7、mark-β法中控制参数β取不同的值也可以得到其它时域逐步积分方法。下表给出了β取不同值时Newmark-β法所对应的逐步积分法。在动力问题研究中，常采用γ=1/2，β=1/4的所谓无条件稳定的Newmark—β法，实际上就是平均（常）加速度方法。Newmark-β法为单步法，即体系每一时刻运动的计算仅与上一时刻的运动有关，不需要格外处理计算的“起步”问题，属于自起步方法。新型预测-校正积分法预测计算校正计算4.几种方法的特点比较Newmark-β法，特别是β=1/4的无条件稳定格式得到广泛应用。中心差分法，虽然稳定

8、性略差，但因其所具有的简单、高效的特点也得到一系列的应用。Wilson-θ法，由于过高的算法阻尼，在实际中的使用越来越少。对于一些特殊的问题，计算精度的要求有时严于或等于稳定性条件，此时，中心差分法将具有更大的优势。谢谢，欢迎指正！丹毒概述丹毒是皮肤及其网状淋巴管的急性炎症感染，为乙型溶血型链球菌侵袭所致。好发于下肢和面部。其临床表现为起病急，