解析几何中距离最值问题求解方法和策略

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1、解析几何中距离最值问题求解方法和策略　　关于解析几何中的距离的最值问题，是我们在高考复习中经常遇到的一种题型，它有时以函数最值的形式出现，有时直接以解析几何题的形式出现.对于这种题型，如果处理得当，就会达到事半功倍的效果.本文以几个例题来谈谈有关这种题型的最佳解决方法.1.同侧求差取最大，直接连接找交点例1设有两点P（3，x）、Q（2，y），其中x+y=2，且x、y∈R+，求P、Q到原点O的距离之差的最大值，并求取得最大值时的x和y的值.分析由题意可知

2、OP

3、-

4、OQ

5、=-=-，即在X轴上求一点M（x，

6、0），使它到点A（0，3）和点B（2，2）距离的差取得最大值.又A、B两点都在X轴的同侧，为此，连接AB并延长使之交X轴于一点，易证该点即是所求的点M，从而AB的长就是所求的最大值.解由分析易得

7、OP

8、-

9、OQ

10、的最大值为

11、AB

12、=，此时直线AB的方程为y=-x+3.令y=0得x=6.则所求的x=6，y=-4.2.异侧求差取最大，找出对称直接连例2在直线l∶3x-y-1=0上求一点M，使它到点A（4，1）和点B（0，4）的距离的差最大.分析4由题意可知A、B两点分别在直线l的两侧，则设B（0，4）点关于

13、直线l∶3x-y-1=0的对称点为B′，易求得B′（3，3），连接AB′并延长交l于一点，易证该点即是所求的点M.解由分析易得

14、MA

15、-

16、MB

17、的最大值为

18、MB′

19、=，此时直线AB′的方程为y=-2x+9.由3x-y-1=0y=-2x+9x=2y=5.故所求M点为（2，5）.3.异侧求和取最小，直接连接找交点例3求使函数f（x）=+取得最小值的点P的坐标.分析f（x）=+=+表示动点P（x，0）到定点A（-3，3），B（5，-1）的距离之和，而A、B两点分别位于X轴的上下两侧，由此连接AB交X轴于一点，

20、易证该点即为所求的P点.解由题意及分析易得直线AB的方程为y=-x+，令y=0，得x=3，即所求的P点为（3，0）.4.同侧求和取最小，找出对称直接连例4在直线l∶x-y+9=0上任取一点P，又知M（-3，0），N（3，0），试问P点在何处时

21、PM

22、+

23、PN

24、取得最小值？解由题意可知M（-3，0），N（3，0）在直线l同侧，要使

25、PM

26、+

27、PN

28、取得最小值，设M（-3，0）点关于直线l∶x-y+9=0的对称点为M′，易求得M′（-9，6），连接M′N并延长交l于一点，易证该点即是所求的点P.又直线M′N

29、的方程为y=-x+，即x+2y-3=0.4由x-y+9=0x+2y-3=0得x=-5y=4，即所求P点位置为（-5，4）.点评由上可知，上述问题可用如下口诀给予解决：同侧求差取最大，直接连接找交点；异侧求差取最大，找出对称直接连；异侧求和取最小，直接连接找交点；同侧求和取最小，找出对称直接连.例5设m≥1，求坐标平面上两点A（m+，m-），B（1，0）之间距离的最小值.分析此题若直接用距离公式求解，比较麻烦.如果从轨迹图形入手，最简捷.A不是动点吗？那么A的轨迹是什么？先将动点的轨迹求出来，将动点与定点

30、的距离最值问题转化为定点与轨迹上的点的距离的最值问题.解由x=m+y=m-，可知A点的轨迹方程为x2-y2=4.绘出如右图所示的双曲线的一支，立即可以看出，

31、AB

32、的最小值为1.例6如图，设P为圆（x-3）2+y2=1上的动点，Q为抛物线y2=x上的动点，求

33、PQ

34、的最小值.分析利用圆上动点到圆心的距离等于常数的特点，将圆的动点转化为圆心定点，从而可将两个动点的距离最值问题转化为一个动点到一个定点的距离的最值问题.本题P，Q两点都是动点，如果设这两个点的坐标来求，显然非常困难.4这就需要把这两个变量转化

35、为一个变量来处理.P点在圆上运动，但P点到圆心M（3，0）的距离是定值，利用这个定值来解决.解设Q（y2，y），则

36、QM

37、2=（y2-3）2+y2=y4-5y2+9=（y2-）2+≥，取等号当且仅当y=±.故

38、PQ

39、的最小值为-1.例7已知椭圆+=1内有一点P（1，-1），F为椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，使得

40、MP

41、+2

42、MF

43、取得最小值.分析利用圆锥曲线的定义将折线段转化为直线段来求最值.解a2=4，b2=3，c2=1，即F（1，0）.由M向右准线作垂线，垂足为N，则==，即

44、MN

45、=2

46、MF

47、.

48、故

49、MP

50、+2

51、MF

52、=

53、MP

54、+

55、MN

56、.显然当M，P，N共线时，

57、MP

58、+

59、MN

60、最小，由+=1，得x=±.又因为x>0，所以M（，-1）.（编辑孙世奇）4