精讲精练因式分解方法分类总结-培优.docx

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1、因式分解•提公因式法【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：(1)当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幕。(2)系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1.把下列各式因式分解解：a(ab)32a2(ba)22ab(ba)a(ab)32a2(ab)22ab(ab)a(a2b)[(ab)2a(a

2、b)2b]a(a2b)(3a4abb22b)2.果。利用提公因式法简化计算过程例：计算123器分析：算式中每一项都含有987解：原式-13689871368456器521器2681368987，可以把它看成公因式提取出来，再算出结1368(1231368268456521)987(1)2m2axm1abxmm3acxax(2)a(ab)32a2(b2a)2ab(ba)分析:(1)若多项式的第-项系数是负数，般要提出“一”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“-”号后，多项式的各项都要变号。2m2m1mm3m23解：axabxacxaxax(axbxcx)(

3、2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，(ab)2n(ba)2n;(ab)2n1(ba)2n1，是在因式分解过3.在多项式恒等变形中的应用2xy3例:不解方程组，求代数式(2xy)(2x3y)3x(2xy)的5x3y2值。分析：不要求解方程组，我们可以把2xy和5x3y看成整体，它们的值分别是3和2，观察代数式，发现每一项都含有2xy，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2xy和5x3y的式子，即可求出结果。程中常用的因式变换。(2xy)(2x3y)3x(2xy)(2xy)(2x3y3x)(2xy)(5x3y)把2

4、xy和5x3y分别为3和2带入上式，求得代数式的值是6。3.在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n,3n22n23n2"—定是10的倍数。分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。3门22门23门2门3门23“2门22n3n(321)2n(221)10352对任意自然数n,103“和52“都是10的倍数。3n22n23n2"—定是10的倍数5、中考点拨：例1。因式分解3x(x2)(2x)解：3x(x2)(2x)3x(x2)(x2)(x2)(3x1)说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换

5、得到。例2•分解因式：4q(1p)32(p1)2解：4q(1p)2(p1)4q(1P)2(1p)2(1P)2[2q(1p)1]22(1P)(2q2pq1)说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。题型展示：例1•计算：200020012001200120002000精析与解答：设2000a,则2001a1200020012001200120002000a[10000(a1)(a1)](a1)(1000(^a)a(a1)10001a(a1)10001a(a1)(1000110001)0

6、说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001重复出现，又有200120001的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。例2.已知：x2bxc(b、c为整数)是x46x225及3x44x228x5的公因式，求b、c的值。分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c,但比较麻烦。注意到x2bxc是3(x46x225)及3x44x228x5的因式。因而也是(3x44x228x5)的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。解：x2bxc

7、是3(x46x225)及3x44x228x5的公因式4也是多项式3(x6x225)"C4,2(3x4x28x5)的二次因式49而3(x6x25)(3x44x228x5)214(x2x5)b、c为整数得：x2bxcx22x5b2,c5说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式14x228x70,从2而简便求得xbxCo例3•设x为整数，试判断105xx(x2)是质数还是合数，请说明理由。解：105xx(x2)5(2x)x(x2)(x2)(5x)x2,5x都是大于1的自然数(x2)(5x)是合数说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整

8、除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。【实战模