求递推数列通项的特征根法与不动点法(20210312135426).docx

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1、精心整理求递推数列通项的特征根法与不动点法、形如an2pan1qan(p,q是常数)的数列形如印二ma二mi?,务2二pan1qan(p,q是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项an,其特征方程为x2二px•q…①若①有二异根〉,:,则可令an=cpnc/-n(C1,C2是待定常数)若①有二重根■■-■,则可令a^(C1-nc2^n(C1,C2是待定常数)再利用6=mi,a2=m2,可求得sq,进而求得a..例1.已知数列{an}满足ai=2忌=3,an.2=3an1-2an(n・N*),求数列{a.}的通项aC1=11,.an=12nj.解:其特征方程为x

2、2=3x-2,解得Xi=1,冷=2,令an=/Ci1nC22n,由臼7JQ=2,得Ia?=q'4c2—3卩2=2,令…nc2,.3n_2an=^nJ例2.已知数列{an}满足a1=1,a2=2,4an2=4an1-an(nN),求数列{a.}的通项a解:其特征方程为4x2=4x-1,解得x^i=x21ja1=(c1*c2)X;二1由21a?=(c2C2)、形如乳2=器的数列对于数列『=册,-=m,nN(A,B,C,D是常数且C=O,AD-BC=O)其特征方程为x二AxBCxD,变形为Cx2(D-A)x-B=O…②精心整理精心整理(其中c是待定常数),代入ai,a2

3、的若②有二异根:,则可令二Can4r—Pan—P精心整理值可求得c值.这样数列色是首项为色,公比为c的等比数列,于是这样可求得an2n-BJa1-0若②有二重根-■-■,则可令——11c(其中c是待定常数),代入a1,a2an卅—僅an—J的值可求得c值.1an-a这样数列1是首项为1,公差为c的等差数列,于是这样可求得aan此方法又称不动点法.例3.已知数列{a"}满足a1g21『2),求数列{an}的通项an解:其特征方程为x2x二2x1,化简得2八2=0,解得“也一1,令阳2貯3341由a1=2,得a2,可得c=53为首项,以已为公比的等比数列,詈壬百la

4、_<]■数列an是以gn+1Ja+13a3n-(-1)nan_3nM)n33例4.已知数列{an}满足a!=2,an12an_1(n・N*),求数列{an}的通项a4an6解:其特征方程为x=^1,即4x2¥x10=,解得%=x2=—丄,令1=1+c4x62一1a.1an-22an■an由a^2,得a2是以12a+15an2ai12为首项,以1为公差的等差数列,152(nT)1二n-一,53精心整理13-5n10n-6

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