中学数学中的反证法2.docx

《中学数学中的反证法2.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、浅谈中学数学中的反证法摘要小结在解题过程中怎样由假设出发寻找矛盾,哪些类型的问题适用于反证法,以及在学习反证法的过程中应注意的两方面。关键词反证法命题反设归谬结论0引言反证法是数学的一种极其重要的方法，特别是遇到的一些直接证明难于入手，甚至无法入手的问题，反证法可使证明变得轻而易举。它和分析法、综合法一样，有着悠久的历史，应用也相当广泛。在中学数学中，反证法是一个难点。在学习反证法之前，学生在学习平行线、相交线、三角形等各章中，证题用的都是直接证法，突然学习反证法，与已有的证题习惯不同，所以学生初学反证法，会有排斥的心理。加之，现在课本要求不高，例题很少，学

2、生与老师不重视，知识不巩固，使学生无法深刻理解反证法的作用。但是，中学生好奇心强，对新鲜事物兴趣浓，抓住这一特点，从浅显的、学生熟知的事实入手说明“反证法”，再引导其抽象概括，就能收到很好的教学效果。论文中通过几个例子表现反证法的思维方式，说明反证法在解题中的重要作用，并总结哪些类型的问题适用于反证法。深刻理解反证法的实质，切实掌握它的解题要领，能提高逻辑思维能力和解决实际问题的能力。1反证法的由来反证法是数学中的一种证明方法，它是与直接证法相对的间接证法的一种。法国数学家J•阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了最准确、最简明扼要的描述：“反证

3、法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。反证法作为一种最重要的数学证明方法，在数学命题的证明中被广泛应用。欧几里得证明“素数有无穷多”的结论，欧多克斯证明“两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方”的结论，“最优化原理”的证明，伽利略推翻“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的断言，“上帝并非全能”的证明，都用了反证法。1什么是反证法反证法是从原命题结论的反面出发，通过正确的逻辑推理过程，导致矛盾的结果，从而肯定原命题结论正确的证明方法。它是反设后通过归谬使命题得到证明的方法，所以，反证法又称“归谬法”。英国数学家哈代对于这种证

4、法给过一个很有意思的评论，在棋类比赛中，经常采用一种策略，叫“弃子取势”，即牺牲一些棋子以换取优势。哈代指出，归谬法是远比任何棋术更为高超的一种策略，棋手可以牺牲的是几个棋子，而数学家可以牺牲整盘棋。反证法就是作为一种可以想象的最了不起的策略而产生的。2反证法的一般步骤应用反证法证题，首先应分清命题的条件和结论，再按“反设归谬结论”三步进行：3.1反设作出与原命题结论相反的假设。反设是应用反证法的第一步，也是关键的一步。反设的结论将是下一步归谬的一个已知条件。反设是否正确、全面，直接影响下一步的证明。作为反设其含义是：假设所要证明的命题的结论不成立，而讨论的

5、反面成立故应准确找到命题的结论，抓住关键的字句进行分析、引导、示范、训练，体会怎样对命题的结论进行正确、全面的否定。在训练时，主要做以下工作：（1）正确分清题设和结论。（2）对结论实施正确否定。一般而言，一种情形是直接在结论前加“不”或去掉“不”例如：是不是，有没有，能不能，成立不成立，存在不存在，大于等于不大于等于（即小于）等等,此类问题的否定较为简单。另一种情形是不能简单地加“不”，例如，A:只有一个，A:至少有两个；A:至少有一个，A:一个都没有；A:至多有一个，A:有两个或两个以上；A:都在，A:都不在或不都在等等。这些应多做分析理解。（3）对结论否

6、定后，应找出其所有的情况。例如，A:大于，A:不大于。不大于即小于或等于。对这两种情况在下一步的“归谬”中应一一证明不成立。3.2归谬以及肯定结论反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设（即把反设作为一个新的已知条件）及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果⑴。“肯定结论”其含义是：判断产生矛盾的原因在于反设是假，从而肯定原命题是真。在教学中应通过适当的例题，由浅入深地去引导学生如何寻找和探求矛盾，矛盾产生常有以下几种可能。3.2.1由假设或已知所推出的结果与已知条件相矛盾例1、已知p3

7、+q32，求证：p+q2。分析：这是一个不等式问题（1）反设。结论是“p+q2”，则应假设为pq2，那么pq2将作为下一步“归谬”的已知条件。（2）归谬。pq2是一个已知条件，结合题设分析p、q均为三次方，故由pq2,得p>2-q,所以3323p（2q）812q6qq,3322pq812q6q6（q1）22,33pq2.这个结论与已知p3+q3=2矛盾，而推理正确，故而假设错误，（3）肯定结论。肯定结论p+q2正确，命题得证。3.2.2由假设或已知推出的结果与已学定理相矛盾例2、已知:如图1,设点A、B、C在同一直线上，求证：过A、B、C三点不能作圆•分析：

8、命题的结论是一个否定性结论。（1）反设。不能能,假设