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1、精选文档数值分析第一次试验可编辑精选文档可编辑精选文档最佳平方逼近试验任兵(200820302025)、问题叙述三次最佳平方逼近多项式。求函数f(x)=exp(x)在［-1,1］上的二、、问题分析可编辑精选文档可编辑精选文档使得由教材定义6.5有：对于给定的函数一*，、一，，、S(x)Span{0(x),f(x)C[a,b]1(X),L,n(X)}(x)f(x)S(x)dxmin(x)f(x)aaxba则称S*(x)是f(x)在集合Span{0(x),1(x),L,显然，求最佳平万谩近函数S(x)n*aj0如果存在2.s(x)dxn(
2、X)｝中的最佳平方逼近函数。j(x)的问题可归结为求它的系数可编辑精选文档可编辑精选文档f(x)2najj(x)dxj0an)是关于ao,a1,…，an的二次函数,利用多元函数取得极值的必要条件,—0ak(k=0,1,2,…，n)Iakb2(x)af(x)najj(x)k(x)dx0j0a；,a*,,an,使多元函数bI(a0,a1,,an)a(x)a取得极小值，也即点(a0,a［，，2口)是19。，…，an)的极点。由于I(a。，a1，…,可编辑精选文档得方程组naj.j0'b(x)k(x)j(x)dx(x)f(x)k(x)dx,(
3、k0,1,2,,n)可编辑精选文档可编辑精选文档如采用函数内积记号(k,j)(x)k(x)j(x)dx,(f,k)(x)f(x)k(x)dx,可编辑精选文档可编辑精选文档那么，方程组可以简写为n(k,j0j)aj(f,k)(k0,1,2,L,n)...(1)这是一个包含n+1个未知元a。，a1,…,an的n阶线性代数方程组，写成可编辑精选文档可编辑精选文档矩阵形式为0,00,1,1)1)1,n)n)LLLL(n,0)1)(n,n)an(f,(f,M(f,)))n)(2)此方程组叫做求aj(j=0,1,2,…,n)的法方程组。显然，其系
4、数行列式就是克莱姆行列式Gn=Gn(0,1,…，n)o由于0,可编辑精选文档可编辑精选文档1,…，n线性无关，故Gn0,于是上述方程组存在唯一解akak(k0,1,,n)。从而月je了函数f(x)在Span{0(x),1(x),L,n(x)}中如果存在最佳平方逼近函数，则必是n_*,、*,.一、S(x)ajj(x)：...••(3)j0三、实验程序1、最佳平方逼近算法可编辑精选文档可编辑精选文档（1）输入被逼近函数f（x）和对应的逼近区间［a,b］并选择逼近函数系｛a和权函数；（2）解方程组（1）或（2），其中方程组的系数矩阵和右端的
5、项由式（得到；（3）由式（3）得到函数的最佳平方逼近。2、将上述算法编写成MATLAB程序共需三个程序：x)}3）1）第一个程序（函数名：squar_approx.m）计算最佳逼近函数的系数，源代码如下：functionS=squar_approx(a,b,n)%定义逼近函数globali;globalj;ifnargin<3n=1;endPhi2=zeros(n+1);fori=0:nforj=0:n;％全局变量％判断生成一个n+1*n+1大小的全0矩阵数组Phi2(i+1,j+1)=quad(@rho_phi,a,b);%求rho
6、_phi积分endendPhiF=zeros(n+1,1);％生成一个n+1*n大小的全0矩阵数组fori=0:nPhiF(i+1)=quad(@fun_phi,a,b);%求fun_phi积分ends=Phi2PhiF;可编辑精选文档(2)第二个程序(函数名：rho_phi.m)代码如下：functiony=rho_phi(x)globali;globalj;y=(rho(x).*phi_k(x,i)).*phi_k(x,j);(3)第三个程序(函数名：fun_phi.m)functiony=fun_phi(x)globali;y
7、=(rho(x).*phi-k(x,i)).*obj(x);四、试验结果f(x)=exp(x)在[-1，1]上的二、三次最佳平方逼近多项式。(1)编写下面三个函数：外部函数；多项式函数；被逼近函数；functiony=rho(x)％外部函数y=1;functiony=phi_k(x,k)％多项式函数ifk==0y=ones(size(x));elsey=x.Ak;endfunctiony=obj(x)％被逼近函数y=exp(x)可编辑精选文档(2)当求的是二次逼近时得到如下结果>>clear>>S=squar_approx(-1,1,
8、2)S=0.99631.10360.5367绘制两者的图形：>>fun='exp(x)';>>fplot(fun,[-1,1])>>holdon>>xi=-1:0.1:1;>>yi=polyval(S,xi);>>plo
