直线与圆锥曲线题型总结.docx

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1、直线和圆锥曲线基本题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置矢系22例题1・已知直线l：y=kx-1与椭圆C：—-1始终有交点，求m的取值范围4m22解:根据直线丨：八kxi的方程可知'直线恒过定点（0，1厂椭圆c：—4m22过动点（0,….用），且m=4，如果直线l:y二kx1和椭圆c：—-1始终有交点/4m贝U,m_1，且m=4，即1vm且m=4。题型二：弦的垂直平分线问题例题2・过点T（-1,0）作直线I与曲线N：y2=x交于/B两点，在x轴上是否存在一点E（x°,0），使得ABE是等边三角形，若存在，求出X。；若不存在，请说明理解

2、：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0o设直线I：y=k(x1)‘k=0，A(Xbyd‘B(X2,y2)。由y/k(x1)消y整理,得k2X2(2kA1)xkA0①y=x由直线和抛物线交于两点'得AA（2k-1）MkMkd0即②422由韦达定理/得：XiX2=324XiX2二1°则线段AB的中点为（一做2丄）0k2k2k线段的垂直平分线方程为：y•丄令y=0,得xo二丄二，则2kk2k^“o2lv211E（「,0）条2QAABE为正三角形，二E（匕-丄，0）到直线AB的距离d"

3、AB。2lv22QAB二J(Xi—x2)2+(w—yz)—

4、—严U1+k?k.1(VP.3J・4k2lv2k解得■詈满足②式此时题型三：动弦过定点的问题例题3、已知椭圆C字咅的离心率为f，且在x轴上的顶点分别为A(-2,0),A2(2,0)°(I)求椭圆的方程；(II)若直线I:x=t(t.2)与x轴交于点T,点P为直线I上异于点T的任一点，直线PA.PA2分别与椭圆交于MN点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论解：(I)由已知椭圆C的离心率e仝二三，a=2,则得c-3b=1。从而椭圆a22同理设直线AN的斜率为k2，则得点N的坐标为(先kf,奇)Qyp=K(t2)必*2(t-2)邑也5

5、5(II)设MgyJ，N(X羿)，直线AM的斜率为K，则直线AM的方程为55Q直线MN的方程为：y—力V2—力•.令y=0，得X=冷，将点MN的坐标代入5化简后得：x=3又Qt>2,%—t°「加椭圆的焦点为贾汁-即“弓故当”孚时，MN过椭圆的焦点。题型四：过已知曲线上定点的弦的问题22例题4-已知点/B、C是椭圆E：爲•爲=1(ab0)上的三点，其中点abA(2.>・3,o)是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心如图。/__(I)求点c的坐标及椭圆E的方程；k(II)若椭圆E上存在两点P・Q使得直线PC与「ULWUUUBC=2AC，直线QC矢

6、于直线.3对称，求直线PQ的斜率。—buuuruuu解:(I)QBC

7、=2AC，且BC过椭圆的中心Ouuuuuiuuuuuu・OCuQACBC=0ZACO・乂QA(213,0)…2•点c的坐标为QA(2・3,0)是椭圆的右顶点，d3)代入方程，得『=4，22a=2.3，则椭圆方程为：xy沖将点12h22椭圆E的方程为补「1124(II)Q直线PC与直线QC尖于直线x~3对称，设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为・k，从而直线PC的方程为:2Q直线MN的方程为：y—力型二力的方程为一y2A14