数列中的不等式恒成立.docx

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1、精品资源数列中的不等式恒成立不等式的包成立问题是学生较难理解和掌握的一个难点，以数列为载体的不等式包成立问题的档次更高、综合性更强，是高三第二轮复习中不可多得的一个专题.例1：（2003年新教材高考题改编题）设2。为常数，数列｛an｝的通项公式为an=J[3n+(—1尸2n]+(—1)n2nao(n^NQ,若对任意n之1不等式a0>an」恒成5立，求a0的取值范围.解:an—anJ23n(-1)nJ32nJ5(-1)n32n」a0故anAan」等价于(_1)njL(5a0_1)<(_2)nN.①⑴当n=2k—1,k=1,2,…时，①式即为ao

2、此式对k=1,2，…525)包成立，故ao<1（［）2X」+1=；（注意力小于最小值，为什么不能等于？）5253⑵当n=2k,k=1,2,…时，①式即为（-1）2k」（5a0-1）虫微产二，即ao>_lx（3）2k^+1,此式对k=1,2,…恒成立,ao>-PG严/+4=0.525525综上，①式对任意nWN+成立，有0

3、法）；最后转化为指数函数的单调性.例2：已知等比数列｛xn｝的各项为不等于1的正数，数列｛yn｝满足ynlo段a=2（a>O,a=1）.设丫4=17,y7=11.试判断，是否存在正整数M时，使当n>M时，xn>1包成立，若存在，求出相应的M;若不存在，说明理由._yn解：不难得yn=25-2n,又由yn=2logaxn得xn=a2.yn①当0ca<1,且n>12时，xn=aN>a°=1;_yn②当a>1,且n>12时，xn=a2M时，xn>1恒成立；当aa1时，不存在M,使得当n>M时，xn>1包成立.评析：本题

4、是一道“不难”的难题，说它简单是因为解题思路明晰，过程简洁；说它是难题是由于它的背景并不单纯，来头很大：探索性的数列中的不等式包成立问题.欢迎下载精品资源例3:已知a>0,a/1,数列｛an｝是首项为a,公比为a的等比数列，令bn二anlg%(nN.).(I)求数列J｛bn｝的前n项和Sn；S(11)求当2A1时，求limSn;5bn(田)若数列｛bn｝中的每一项总小于它后面的项，求a的取值范围.解：(I)由题设an=a,an」=an,bn=anlgan=nanlga,故Sn=a1ga(12a3a2，，nan/):alga(aa2，，an)/n1a-a/aigan

5、nn1x二a1ga(1a)=(1J1(1-a-nana).aa-1(n)Sn=—a^(』」—1+a),且a>1,limfbn(1-a)2nannn-(E)令bn+》b,则bn+-bn=(n+1)an*1ga-nan1ga=an1ga[n(a-1)+a]>0,•'an>0,•,只需1ga[n(a-1)a]0.①当门时，1ga>0,得nd)十a"解得n>建;②当0—a-1-a为了使0十>］对任何正整数n都成立，只须号小于n的最小值1,1-a—a—<1,解得a>1或0

6、数列对应项的乘积的求和，一般用错位相减法，但那仅仅是一般情况，对于象本题这种系数和方次之间的关系所具有的导数的“影子”，使我们联想到求导的逆过程，把系数放入指数里用导数.这种思维的深刻性已不可同日而语.⑵本题是一道综合性极强的好题，它的第三小题是数列不等式包成立求参数的取值范围，转化为解不等式或求函数的最值，这是高中数学中有关确定参数范围题目的涅磐.例4:数列｛an｝的前n项和为Sn=an2+bn，其中a、b是常数，且a>0,a+b>1,欢迎下载精品资源(I)求｛an｝的通项公式，并证明an+>an>1;(H)令Cn=logana+1,试判断数列｛Cn｝中任意相邻

7、两项的大小.解(I):当n=1时，a1=S1=a+b;当n之2时，an=Sn_Sn/=2an+b_a,an=2an+b—a,n=N+.an由一an=2a(n+1)+b—a—(2an+b—a)=2a>0,.二an书>an,又an=(2n—1)a+b之a+b>1,故an书>an>1.另an'=2a>0,故an是n的增函数，，当n=1时，an最小，最小值为a1=a+b>1,.二an>1.欢迎下载精品资源欢迎下载精品资源(11)若2=1时，g=1,任两项相等;anloga—若a#1,则Cn由一Cn=logan+a—logana=1丫：中^logaandlogaanan+>

8、an>1,