2021_2022学年新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.41.4.2充要条件学案新人教A版必修第一册.doc

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1、优选1.4.2　充要条件学习任务核心素养1．结合具体实例，理解充要条件的意义．(重点、难点)2．会求(判断)某些问题成立的充要条件．(重点)3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)1．通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养.老X邀请X三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有X三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老X说：“该来的没有来．”X三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．老X愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．问题：(1)X三为什么走了？(2)李四为什么走了？知识点　充

2、要条件(1)定义：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类：①充分必要条件(充要条件)，即p⇒q且q⇒p；②充分不必要条件，即p⇒q且qp.③必要不充分条件，即pq且q⇒p.④既不充分也不必要条件，即pq且qp.7/7优选“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别

3、在哪里？[提示](1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．(1)“x2－1＝0”是“

4、x

5、－1＝0”的________．(2)“x<5”是“x<3”的________．(1)充要条件　(2)必要不充分条件[(1)设A＝{x

6、x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x

7、

8、x

9、－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B,即“x2－1＝0”是“

10、x

11、－1＝0”的充要条件．(2)设A＝{x

12、x<5}，B＝{x

13、x<3}，因为AB，所以“x<5

14、”是“x<3”的必要不充分条件．]类型1　充分、必要、充要条件的判断【例1】　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)．(1)p：x－3＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；(3)p：a＞b；q：ac＞bc.[解](1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．(3)a＞bac＞bc，且ac＞bca

15、＞b，故p是q的既不充分也不必要条件．7/7优选判断充分条件、必要条件及充要条件的3种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)．(1)p：x2>0，q：x>0；(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；(3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等；(4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁

16、UA.[解](1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分条件．(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要条件．(3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要不充分条件．(4)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，∴p是q的充要条件．类型2　充要条件的证明【例2】　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.[解]①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x27/7优选＝

17、＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要