2021_2022学年新教材高中数学第5章三角函数5.15.1.2蝗制学案新人教A版必修第一册.doc

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1、优选5.1.2　弧度制学习任务核心素养1．了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系．2．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点)3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)1.通过对弧度制概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助弧度制与角度制的换算，提升数学运算素养.如图是一种折叠扇．折叠扇打开、合拢的过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小．那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？什么量没发生变化？由此你能想到度量角的其他办法吗？知识点1　角度制与弧度制　(1)度量角的两种

2、制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角1度的角等于周角的弧度制定义以弧度作为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角(2)弧度数的计算10/10优选比值与所取的圆的半径大小是否有关？[提示]一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．(3)角度制与弧度制的换算1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)1弧度的角是周角的.(　　)(2)1弧度的角大于1度的角．(　　)[答案](1)×　(2)√2.一些特殊角与弧度数的对应关系度0°30°45°60°90°120°135°150°180

3、°270°360°弧度0π2π3.(1)rad化为角度是________．(2)105°的弧度数是________．(1)252°　(2)[(1)rad＝°＝252°；10/10优选(2)105°＝105×rad＝rad.]知识点2　扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝αR.(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.4.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)扇形的半径为1cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝R

4、α

5、＝1×30＝30(cm)．(　　)(2)若扇形的半径不变，圆心角扩大

6、为原来的2倍，则扇形的弧长也扩大为原来的2倍．(　　)(3)若扇形的半径和弧长都变为原来的2倍，则扇形的面积变为原来的2倍．(　　)[答案](1)×　(2)√　(3)×5.半径为2，圆心角为的扇形的面积是________．[由已知得S扇＝××22＝.]类型1　角度与弧度的互化与应用【例1】　(1)①将112°30′化为弧度为________．②将－rad化为角度为________．(2)已知α＝15°，β＝rad，γ＝1rad，θ＝105°，φ＝rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．(1)①rad②－75°[(1)①因为1°＝rad，10/10优选所

7、以112°30′＝×112.5rad＝rad.②因为1rad＝°，所以－rad＝－°＝－75°.](2)[解]法一(化为弧度)：α＝15°＝15×rad＝rad，θ＝105°＝105×rad＝rad.显然＜＜1＜.故α＜β＜γ＜θ＝φ.法二(化为角度)：β＝rad＝×°＝18°，γ＝1rad≈57.30°，φ＝×°＝105°.显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.角度制与弧度制互化的关键与方法(1)关键：抓住互化公式πrad＝180°是关键．(2)方法：度数×＝弧度数；弧度数×°＝度数．(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成

8、度，再化成弧度．1．(1)将－157°30′化成弧度为________．(2)将－rad化为度是________．10/10优选(1)－πrad　(2)－396°[(1)－157°30′＝－157.5°＝－×rad＝－πrad.(2)－rad＝－×°＝－396°.]2．在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示)π，π[因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．当k＝0时，θ＝72°＝πrad；当k＝1时，θ＝432°＝πrad，所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有π，π.]类型2　用弧度数表示

9、角【例2】　(1)终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是(　　)A．B．C．D．(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．[解](1)D[因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)，所以角α的终边落在直线y＝x上，所以角α的集合是.](2)[解]因为30°＝rad,210°＝rad，10/10优选这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为.1．弧度制下与角α终边相同的角的表示在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示

10、为{β

11、β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．2．根据已