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1、近世代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“V”，错的打“X”；每小题1分，共10分）1、设A与B都是非空集合，那么ABXXA且xB。（）2、设A、B、D都是非空集合，则AB到D的每个映射都叫作二元运算。（）3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f1o（）4、如果循环群Ga中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。（）5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（）6群G的子群H是不变子群的充要条件为gG,hH；g1HgH。（）7、如果环R的阶2，那么R的单位元10o（）8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。（）9、F（x）
2、中满足条件p（）0的多项式叫做元在域F上的极小多项式。（）10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与Zp同构的子域，这里Z是整数环，p是由素数p生成的主理想。（）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）1、设A1,A2,,An和D都是非空集合，而f是AA2An到D的一个映射，那么（）①集合A）,A2,,An,D中两两都不相同；②A,A2,,An的次序不能调换；③A1A2An中不同的元对应的象必不相同；④一个元a1,a2,,an的象可以不唯一。2、指出下列那些运算是
3、二兀运算（）①在整数集Z上,ab-—b；②在有理数集Q上,abv
4、ab；ab③在正实数集R上,abalnb:④在集合nZn0上，abab。3、设是整数集Z上的二元运算，其中abmaxa,b（即取a与b中的最大者），那么在Z中（）①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。4、设G,为群，其中G是实数集，而乘法：ababk，这里k为G中固定的常数。那么群G,中的单位元e和元x的逆元分别是（）①0和x；②1和0；③k和x2k；④k和（x2k）。5、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2abxc1,acxxac，那么x（）①bc1a1；②c1a1；③a1
5、bc1；④b1ca。6设H是群G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH,cH。如果6，那么G的阶G（）①6；②24；③10；④12。7、设f：GG2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）①f的同态核是G1的不变子群；②G2的不变子群的逆象是G
6、主理想环必是欧氏环；③唯一分解环必是主理想环；④唯一分解环必是欧氏环。10、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（）①E:IE:II:F；②F:EI:FE:I；③l:FE:FF:I；④E:FE:II:F。三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分）1、设集合A1,0,1；B1,2，则有BA2、如果f是A与A间的映射，a是A的一个元，则f1fa，3、设集合A有一个分类，其中A与Aj是A的两个类，如果AAj，那么AAj4、设群G中元素a的阶为m,如果ane,那么m与n存在整除关系为5、凯莱定理说：任一个子群都同一
7、个同构。6给出一个5-循环置换（31425），那么1。7、若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为。8、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么R
8、是一个域当且仅当I是。9、整环I的一个元p叫做一个素元，如果10、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分）1、如果一个集合A的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在a1a2里，元的次序可以掉换2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果
9、满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。3、设I和S是环R的理想且ISR，如果I是R的最大理想，那么S04、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d'都是a和b的最大公因子，那么必有dd'。5、叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元a°,a1,,an使得ncan0。五、计算题（共15分，每小题分标在小题后）1、给出下列四个四元置换12341234123412341,212341243'32134'42143组成的群G,试写出G的乘法表，并且求出G的单位兀及1,21,31,41和G的所有子群。2、设Z60,1,2,3,4,
