近世代数期末考精彩试题库

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1、实用文档世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（c）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（d）个元素。A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是（b）乘法来说A、不是唯一B

2、、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、设集合；，则有。2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。4、偶数环是整数环的子环。5、一个集合A的若干个--变

3、换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。6、每一个有限群都有与一个置换群同构。7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a的逆元是a-1。8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么---------。9、一个除环的中心是一个-域-----。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积：2解：

4、设A是任意方阵，令，文案大全实用文档，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：，，所以，表示法唯一。3、设集合，定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则（，）是不是群，为什么？四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、设是群。证明：如果对任意的，有，则是交换群。2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。1、对于G中任意元x，y，由于，所以（对每个x，从可得）

5、。2、证明在F里有意义，作F的子集显然是R的一个商域证毕。近世代数模拟试题二一、单项选择题二、1、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（c）是子群。A、B、C、D、2、下面的代数系统（G，*）中，（d）不是群A、G为整数集合，*为加法B、G为偶数集合，*为加法C、G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（b）A、a*b=a-b　　B、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=

6、a-b

7、4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（

8、1324），则=（b）A、B、C、D、5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（a）。A、不可能是群　　B、不一定是群　C、一定是群　D、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个---变换全-------同构。2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。文案大全实用文档3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于-25-----。4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与--模n乘余类加群-----同构。5、A={1.2.3}B={2.5.

9、6}那么A∩B=---2--。6、若映射既是单射又是满射，则称为---双射--------------。7、叫做域的一个代数元，如果存在的--不都等于林---使得。8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为----单位元-----。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、--消去律成立-------。10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(

10、12)}，写出H的所有陪集。2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？1、解：H的3个右陪集为：{I,