2021届高三高考数学三轮复习满分大题专练（三十六）—综合练习（22）.doc

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1、挑战满分大题专练（三十六）综合练习（22）1．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在中，内角，，的对边分别为，，．已知______．（1）求角；（2）若，求周长的最大值．解：（1）若选条件①，由，可得，又，，，又，故，又，故；若选条件②，由，可得，即，又，故，又，故；若选条件③，由，可得，即，，又，故，又，故；（2）由（1）知，不管选择哪个条件，，由余弦定理有，，又，则，，，，，当且仅当时取等号，，即周长的最大值为．2．设是公差不为0的等差数列，，是和的等

2、比中项，数列的前项和为，且满足．（1）求和的通项公式；（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和．解：（1）设等差数列的公差为，因为，是和的等比中项，所以，即，解得或．又因为，所以．所以．因为，所以，当时，，所以，所以，即．当时，，又因为，所以，所以数列是以2为首项、3为公比的等比数列．所以．（2）因为，故数列的前项和为3．某校组织200名学生参加某学科竞赛．这200名学生的成绩频率分布表如表：分组，，，，，，频率0.010.090.3650.430.0850.02（1）求样本平均数（同一组中的数据

3、用该组区间的中点值作代表）；（2）由频数分布表可以认为本次学科竞赛成绩近似服从正态分布，，其中取样本平均值．分数不小于97.5分可晋级下一轮比赛，试估算晋级人数（结果四舍五入，取整数）；（3）本次学科竞赛的试题由25道选择题构成，每题6个选项，只有一个正确答案，答对得6分，不答得1.5分，答错不得分．学生甲能正确解答其中的15道题，剩余10道题每道题作答的概率为，作答的情况下他从6个选项中随机的选择其中一个作答．求甲的得分的期望值．附：若，则，，．解：（1）样本平均数．（2）由（1）知，，，在这2

4、00名学生中，晋级人数为．（3）设甲剩余10道题中答一题的得分为，则的分布列为：601.5故的期望，故甲的得分的期望值为．4．如图，多面体中，底面为正方形，，且，、都是正三角形．（1）证明：平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值．解：（1）证法一：，，都是正三角形，，，，，，、平面，平面．证法二：连接，交于，则四边形为平行四边形，，，，，，，，，，，，，、平面，平面，平面，，，、平面，平面．（2）由（1）知：平面，以为原点，、、方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，4，，，0，，，0，，，4

5、，，，，，，0，，，，4，，，，，设平面的法向量为，，，则，取，得，，，设与平面所成角为，则与平面所成角的正弦值为：．5．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，．（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于，两点．过，分别作抛物线的切线，两切线交于点，若直线与抛物线的准线交于第四象限的点，且，求直线的方程．解：（1）抛物线的焦点为，设直线的方程为，与联立，消去，可得，设，的纵坐标分别为，，则，，由抛物线的弦长公式可得，解得，所以抛物线的方程为；（2）易得直线的斜率存在且

6、不为0，由（1）可得，设直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，设，，，，则，，，，，由即可得，则抛物线在，处的切线的斜率分别为，，切线的方程分别为，，即，，解得两条切线的交点为，，即，，由准线方程为，代入，可得，则，由，可得，解得，因为直线与抛物线的准线交于第四象限的点，所以，直线的方程为，即．6．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设，若有两个不同的极值点，，且恒成立，求实数的取值范围．解（1）因为数，所以．当时，因为，所以，此时函数的单调递增区间为．当时，令，解得．当时，，当时，．此时，

7、的单调递增区间为，的单调递减区间为．综上所述：当时，函数的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为．（2）因为，所以．依题意，，解得．因为和是的极值点，所以，则．所以，，．所以，由，可得①，因为，，所以①等价于．令，则，，由于，所以，所以在单调递增，且（4）．所以，（a）．所以的取值范围是．