2020-2021年高一下学期期末备考专题03数列求和的综合应用（解析版）.docx

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1、2020-2021年高一下学期期末备考之金榜名题（人教A版）专题03数列求和的综合应用1．已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q（q＞0）的等比数列，且a1＝b1＝2，a4+a5＝25，a3b3＝4．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=bn2，求数列{cn}的前n项和Sn．【解析】解：（Ⅰ）因为数列{an}是公差为d的等差数列，已知a1＝2，a4+a5＝25，所以a1+3d+a1+4d＝25，所以d＝3，所以an＝2+（n﹣1）×3＝3n﹣1．所以a3＝

2、8．因为a3b3＝4．所以b3=12．所以b1q2=12．因为b1＝2，q＞0，所以q=12．所以bn=2×(12)n−1=(12)n−2．（Ⅱ）因为cn=bn2=(14)n−2，且cn+1cn=14，所以数列{cn}是首项为4，公比为14等比数列，所以Sn＝c1+c2+⋯+cn=4[1−(14)n]1−14=163−163(14)n．2．已知{an}是等差数列，记Sn为数列{an}的前n项和，且a8＝1，S16＝24．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若{bn}是单调递增的等比数列，且b1

3、+b4＝9，b2b3＝8，求（a1﹣b1）+（a2﹣b2）+（a3﹣b3）+⋅⋅⋅+（an﹣bn）．【解析】解：（1）由已知可得a1+7d=12a1+15d=3，∴a1＝﹣6，d＝1，∴an＝﹣6+（n﹣1）＝n﹣7，（2）由已知可得b1+b4=9b1b4=b2b3=8，又{bn}是递增的等比数列，20/20解得：b1＝1，b4＝8，q＝2∴bn＝2n﹣1，∴（a1﹣b1）+（a2﹣b2）+（a3﹣b3）+⋅⋅⋅+（an﹣bn）＝（a1+a2+a3+…+an）﹣（b1+b2+b3+…+bn）＝[

4、﹣6n+n(n−1)2×1]−1−2n1−2=n22−132n−2n+1．3．在等差数列{an}中，a2+a7＝﹣23，S10＝﹣145．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{an+bn}是首项为1，公比为a的等比数列，求{bn}的前n项和Sn．【解析】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a2+a7＝﹣23，S10＝﹣145，得2a1+7d=−2310a1+10×9d2=−145，解得a1=−1d=−3，∴an＝﹣1﹣3（n﹣1）＝﹣3n+2；（Ⅱ）∵数列{an+bn}

5、是首项为1，公比为a的等比数列，∴an+bn＝an﹣1，则bn=an−1+3n−2，∴Sn＝b1+b2+...+bn＝（a0+a1+...+an﹣1）+3（1+2+...+n）﹣2n．若a＝1，则a0+a1+...+an﹣1＝n；若a≠1，则a0+a1+...+an﹣1=1−an1−a．又3（1+2+...+n）﹣2n=3⋅n(n+1)2−2n=3n2−n2．∴Sn=3n22，a=11−an1−a+3n2−n2，a≠1．4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a4＝6，S11＝66．（

6、1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=1anan+1，求证：b1+b2+⋅⋅⋅+bn＜1．【解析】（1）解：由S11＝11a6＝66得a6＝6…………设公差为d，则a6﹣a2＝4d＝4，∴d＝1…………20/20所以an＝a2+（n﹣2）d＝2+（n﹣1）×1＝n…………（2）证明：由（1）得bn=1n(n+1)=1n−1n+1⋯⋯⋯⋯所以b1+b2+⋅⋅⋅+bn=(1−12)+(12−13)+⋅⋅⋅+(1n−1n+1)=1−1n+1＜1⋯⋯⋯⋯5．已知等差数列{an}满足

7、an+1＞an（n∈N+），a1＝1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{bn}的前三项．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设Tn=a1b1+a2b2+⋯+anbn（n∈N+），求Tn．【解析】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，d＞0，由a1＝1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{bn}的前三项，可得（a1+1）（a3+3）＝（a2+1）2，即为2（4+2d）＝（2+d）2，解得d＝2（﹣2舍去），则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1：等比数列

8、{bn}的前三项为2，4，8，则bn＝2n；（2）anbn=（2n﹣1）•（12）n，可得Tn=a1b1+a2b2+⋯+anbn=1•（12）1+3•（12）2+5•（12）3+…+（2n﹣1）•（12）n，12Tn＝1•（12）2+3•（12）3+5•（12）4+…+（2n﹣1）•（12）n+1，两式相减可得12Tn=12+2[（12）2+（12）3+…+（12）n]﹣（2n﹣1）•（12）n+1=12+2•14(1−12n−1)1−12−（2n﹣1）•（12）n+1，化简可得Tn＝3﹣（2n