2021_2022学年新教材高中数学第3章空间向量与立体几何§22.2空间向量的运算三学案北师大版选择性必修第一册.doc

《2021_2022学年新教材高中数学第3章空间向量与立体几何§22.2空间向量的运算三学案北师大版选择性必修第一册.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、优选2.2　空间向量的运算(三)学习任务核心素养1．了解空间向量夹角的概念并会求两空间向量夹角．(重点)2．掌握空间向量数量积的计算方法及运算律．(重点、难点)3．理解投影向量与投影数量的概念以及它们之间的关系．(难点)1．通过空间向量夹角与数量积等概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助空间向量数量积的计算，提升数学运算与直观想象素养．平面向量的数量积是如何定义的？空间向量的数量积可以像平面向量的数量积那样定义吗？为什么？1．空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作

2、向量a与b的夹角记法〈a，b〉X围0≤〈a，b〉≤π向量垂直当〈a，b〉＝时，a⊥b；a·b＝0规定：零向量与任意向量垂直1．〈a，b〉＝〈b，a〉吗？〈a，b〉与〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉有什么关系？[提示]〈a，b〉＝〈b，a〉，〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉，〈－a，－b〉＝〈a，b〉．-10-/10优选2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个空间向量a，b，则

3、a

4、

5、b

6、cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b．(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b

7、＝λ(a·b)(λ∈R)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c(3)数量积的性质两个向量数量积的性质若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0若a与b同向，则a·b＝

8、a

9、·

10、b

11、；若反向，则a·b＝－

12、a

13、·

14、b

15、．特别地：a·a＝

16、a

17、2或

18、a

19、＝cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)

20、a·b

21、≤

22、a

23、·

24、b

25、3．投影向量与投影数量①如图，已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，过A向直线OB作垂线，垂足为点A′，称向量为向量a在向量b方向上的投影向量，其长度等于

26、

27、a

28、cos〈a，b〉

29、．②如图

30、，

31、a

32、cos〈a，b〉称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a·．③数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度

33、a

34、与b在a方向上投影数量

35、b

36、cos〈a，-10-/10优选b〉的乘积，或b的长度

37、b

38、与a在b方向上投影数量

39、a

40、cos〈a，b〉的乘积．2．空间向量的数量积运算满足结合律吗？[提示]数量积运算不满足结合律．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)向量与的夹角和向量与的夹角互补．(　　)(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0．(　　)(3)a·b＝

41、a

42、

43、b

44、是a与b共线的充分条

45、件．(　　)(4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c．(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×2．已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b＝(　　)A．－2　　　　B．－1　　　　C．±1　　　　D．2[答案]A3．在如图所示的正方体中，下列夹角为45°的一组向量是　(　　)A．与B．与C．与D．与[答案]A4．已知向量a，b满足：

46、b

47、＝，〈a，b〉＝45°，且a与2b－a互相垂直，求向量a的模．[解]由a与2b－a互相垂直得，a·(2b－a)＝0，所以

48、2a·b－a2＝0，即2

49、a

50、·

51、b

52、·cos45°－a2＝0，所以2

53、a

54、－

55、a

56、2＝0，-10-/10优选解得

57、a

58、＝0或2．类型1　空间向量的数量积运算【例1】　已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求(1)·；(2)·．[解]如图所示，设＝a，＝b，＝c，则

59、a

60、＝

61、c

62、＝2，

63、b

64、＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0．(1)·＝·(＋)＝b·＝

65、b

66、2＝42＝16．(2)·＝(＋)·(＋)＝·(a＋c)＝

67、c

68、2－

69、a

70、2＝22－2

71、2＝0．求空间向量的数量积可仿照平面向量的数量积的求法进行，注意观察空间向量的方向，正确求出其夹角是求解的关键.[跟进训练]1．若本例的条件不变，计算·．[解]·＝(＋)·(＋)＝·＝·-10-/10优选＝(－a＋b＋c)·＝－

72、a

73、2＋

74、b

75、2＝2．类型2　利用数量积求夹角[探究问题]1．若向量与的夹角为α，直线AB与CD所成的角为β，则α＝β一定成立吗？[提示]不一定．α＝β或α＋β＝π．2．怎样利用数量积求两直线的夹角α？[提示]先求cosα＝

76、cos〈a，b〉

77、＝；再结合α的X围确定其值．3．如何利用数量

78、积证明两个非零向量a和b互相垂直？[提示]a·b＝0⇔a⊥b．【例2】　已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，(1)求向量与所成角的余弦值；(2)求直线OE与BF所成角的余弦值．[解](1)设＝a，＝b，＝c，且

79、a

80、＝

81、b

82、＝

83、c

84、＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，则a·b＝b·c＝c·a＝．因为＝(＋)＝(a＋b)，＝－＝－