2021_2022学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.3.1空间向量的坐标学案含解析新人教B版选择性必修第一册.doc

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1、考试1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系第1课时　空间向量的坐标　必备知识·自主学习1.空间中向量的坐标在空间向量的基底{e1，e2，e3}中单位正交基底若e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底．单位正交分解在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解向量p的坐标若向量p可单位正交分解为p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组为向量p的坐标，记作：p＝坐标分量向量p的坐标中，x，y，z都称为p的坐标分量零向量的坐标如何表示？提示：0＝.2．空间向量的运算与坐标的关

2、系若a＝，b＝，u，v∈R.-8-/8考试线性运算ua＋vb＝数量积运算a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2模长公式＝＝夹角公式cos〈a，b〉＝若a＝，b＝，则a－b如何计算？提示：a－b＝.3．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直若a＝，b＝平行a≠0时a∥b⇔b=λa⇔＝λ⇔a的每个坐标分量都不为零时a∥b⇔＝＝垂直a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0-8-/8考试当a或b为零向量时，垂直的充要条件还成立吗？提示：仍然成立．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)若a＝xe1＋ye2＋

3、ze3，则a的坐标一定是(x，y，z).()(2)设a＝(a1，a2，a3)，则λa＝(λa1，λa2，λa3).()(3)若a＝(2，0，1)，b＝(－2，3，0)，则a⊥b.()提示：(1)×.不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是．(2)√.由空间向量的线性运算法则可知．(3)×.因为a·b＝－4≠0，故两向量不垂直．2．(教材例题改编)已知向量a＝(1，－1，－2)及b＝(－4，2，0)，则a＋b等于()A．(－3，1，－2)B．(5，5，－2)C．(3，－1，2)D．(－

4、5，－5，2)【解析】选A.由向量a＝(1，－1，－2)，b＝(－4，2，0)，所以a＋b＝(－3，1，－2).3．已知a＝(0，3，3)，b＝(－1，1，0)，则两向量的夹角等于________.【解析】因为a·b＝3，＝3，＝，于是cos〈a，b〉＝＝，故夹角为60°.答案：60°关键能力·合作学习类型一　空间中向量的坐标及运算(数学运算)1.已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，下列说法正确的是()A．若p＝2e1－e2＋3e3，则p＝(2，1，3)B．若q＝－e1＋2e2，则q＝(－1，2)C．若r＝e1＋

5、3e2－e3，则r＝(1，3，－1)-8-/8考试D．若s＝－3e2，则s＝(0，0，－3)2．若a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，2，2)，则a·(b＋c)的值为()A．4B．15C．3D．73．已知向量a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值为()A．3B．4C．5D．6【解析】1.选C.由空间中向量的坐标的概念可知，p＝(2，－1，3)，q＝(－1，2，0)，r＝(1，3，－1)，s＝(0，－3，0).2．选C.因为b＋c＝(2，2，5)，所以a·(b＋c)＝4－6＋

6、5＝3.3．选C.因为a·b＝－3×1＋2x＋5×(－1)＝2，所以x＝5.关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．(2)由条件求向量或参数首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标或参数．【补偿训练】已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b等于()A．(2，－4，2)B．(－2，4，－2)C．(－2，0，－2)D．(2，1，－3)【解析】选A.依题意，得b＝a－(－1，2，－1)＝a＋(1，－2，1)

7、＝2(1，－2，1)＝(2，－4，2).类型二　空间向量的坐标与向量的平行、垂直问题(逻辑推理)【典例】已知a＝，b＝，c＝.(1)若a∥c，求x，y的值；(2)是否存在x，y∈R，使得c⊥a且c⊥b，如果存在，求出c的坐标，如果不能，说明理由．【思路导引】利用空间向量平行、垂直的充要条件求解．-8-/8考试【解析】(1)因为a＝的每一个坐标分量均不为零，所以a∥c⇔＝＝⇔x＝－4，y＝8.(2)因为c⊥a且c⊥b，所以所以所以即存在x＝11，y＝5，使得c⊥a且c⊥b，此时c＝.1．空间向量平行与垂直问题的常见题型

8、：(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或解决其他问题．2．解空间向量平行与垂直问题时要注意：(1)适当引入参数，建立关于参数的方程；(2)最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．已知a＝(2，4，x)，b＝(1，y，2)，(1)若a∥b，则y＝________；(2)若

9、a

10、＝6，且a⊥b，则y＝________．【解析】(1)由