地震波动方程.docx

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1、精品资料第三章地震波动方程现在，我们用前一章提出的应力和应变理论来建立和解在均匀全空间里弹性波传播的地震波动方程。这章涉及矢量运算和复数，附录2对一些数学问题进行了复习。3.1运动方程(EquationofMotion)前一章考虑了在静力平衡和不随时间变化情况下的应力、应变和位移场。然而，因为地震波动是速度和加速度随时间变化的现象，因此，我们必须考虑动力学效应，为此，我们把牛顿定律(Fma)用于连续介质。3.1.1一维空间之振动方程式质点面上由于应力差的存在而使质点产生振动。如图1-3所示，考虑一薄棒向x轴延伸，其位移量为u:则其作用力为“应力”Fig3-1X"其所在的质

2、点面积”，所以其两边的作用力差为可修改精品资料可修改精品资料dsxdxx—dxdsx惯量（inertia）为dxds-2t所以得出2（3-1）_u_t2x其中p为密度(densityo-为应力（stress）=E-Ux可修改精品资料3-1式表示，物体因介质中的应力梯度(stressgradient)而得到加速度。如果p与E为常数，则3-1式可写为2.2(3-2)u1u~2-222xct运用分离变量法求解(3-2)式，设u=F(x)T(t),(3-2)式可以变为可修改精品资料可修改精品资料1XT—XTc则可得：Tt,X考虑欧拉公式:cos(t)isin(t),eitcos(

3、t)isin(t)i_xctuAeci_xcti_xctBecCeci_xctDec(3-3)其中A,B,C,D为根据初始条件和边界条件确定的常数。考虑到可正可负，方程式的解具有ufxctgxct的形式，其中f及g为波的函数，以c的波行速度向+x与-x方向传递。我们可以采用如下程序模拟地震波的传播。平面波在均匀介质里沿x方向传播,可修改精品资料可修改精品资料2ut2这里u是位移。对100公里的波长和假定4公里/秒的情况，我们写出用有限差分法解这方程的计算机程序。用长度间距dx1公里，时间问距dt0.1秒。剪切波的齐次微分方程可表达为:可修改精品资料可修改精品资料假定在u(

4、50公里)震源时间函数的形式为:u50tsin2t.50

5、hile(t<=33)%模拟的最长时间为33秒forii=2:100rhs=betaA2*(u2(ii+1)-2*u2(ii)+u2(ii-1))/dxA2;%方程的解u3(ii)=dtA2*rhs+2*u2(ii)-u1(ii);%对时间求导数end%左边为自由边界条件，右边为固定边界条件u3(1)=u3(2);%左边为自由边界条件u3(101)=0.0;%右边为固定边界条件%左右两边为自由边界条件%u3(1)=u3(2);%左边为自由边界条件%u3(101)=u3(100);%右边为自由边界条件%左右两边为固定边界条件%u3(1)=0.0;%左边为固定边界条件%u3(

6、101)=0.0;%右边为固定边界条件if(t<=tlen)u3(51)=(sin(pi*t/tlen)).A2;%地震震源时间函数endforii=1:101u1(ii尸u2(ii);u2(ii尸u3(ii);%时刻的更新endplot(u2);%绘制目前的波形图ylim([-1.21.2]);M(：,jj+1)=getframe；%获得当前的图像t=t+dt;%时间延长endmovie(M)%演示波形传播可修改精品资料3.1.2三维空间之振动方程式推导三维空间之振动方程式的过程，与上节中所采用的一维空间讨论方式类似，如图3-2所表示，先探讨在x方向之位移量u:可修改精

7、品资料可修改精品资料Fig3-2dxdydz2ut7dx在y-z面上的作用力差为：xxxdxxxxdydz在x-z面上的作用力差为：yxydyyxydxdz在x-y面上的作用力差为：zxzdzzxzdxdy惯量为:可修改精品资料可修改精品资料得出2ut2xxyxzxfx(3-4)其中(Txx、cryx及crzx分别为stresstensor在xx（x面方向、x力方向），yx（y面方向、x力方向）及zx（z面方向、x力方向）方向的分量。注意，在本讲义中有关stresstensor的两个下标（indexes）之定义，依序为面的方向