简单的线性规划问题与基本不等式

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1、简单的线性规划问题与基本不等式一、选择题：1.(2009·福建高考)在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为(　　)A．－5B．1C．2D．3解析：不等式组所围成的区域如图所示．则A(1,0)，B(0,1)，C(1,1＋a)且a>－1，∵S△ABC＝2，∴(1＋a)×1＝2，解得a＝3.答案：D2．已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为(　　)A.B.C.D.解析：如图，l1、l2的斜率分别是k1＝，k2＝－，不等式组表示的平面区域为阴影部分．∵tan∠AOB＝＝1，∴∠AOB＝，∴弧长＝

2、·2＝.答案：B3.(2009·天津高考)设变量x、y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为(　　)A．6B．7C．8D．23解析：约束条件表示的平面区域如图易知过C(2,1)时，目标函数z＝2x＋3y取得最小值．∴zmin＝2×2＋3×1＝7.答案：B4．(2009·陕西高考)若x，y满足约束条件目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是(　　)A．(－1,2)B．(－4,2)C．(－4,0]D．(－2,4)解析：可行域为△ABC，如图当a＝0时，显然成立．当a＞0时，直线ax＋2y－z＝0的斜率k＝－＞kAC＝－1，a＜2.当

3、a＜0时，k＝－＜kAB＝2，∴a＞－4.综合得－4＜a＜2.答案：B5.(2009·湖北高考)在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为(　　)A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元解析：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件求线性目标函数z＝400x＋300y的最小值．解得当时，zmin＝2200.答案：B6

4、．(2009·四川高考)某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是(　　)A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元解析：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z＝5x＋3y，且联立解得由图可知，最优解为P(3,4)，∴z的最大值为z＝5×3＋3×4＝27(万元)．答案：D7.设x、y均为正实数，且＋＝1，则xy的最

5、小值为(　　)A．4B．4C．9D．16解析：由＋＝1可得xy＝8＋x＋y.∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2－8≥0，可解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.答案：D8．(2009·天津高考)设a>0，b>0.若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)A．8B．4C．1D.解析：∵是3a与3b的等比中项，∴()2＝3a·3b.即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.此时＋＝＋＝2＋(＋)≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝取等号)．答案：B9．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最

6、小值为(　　)A．8B．6C．4D．2解析：(x＋y)(＋)＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2＝a＋2＋1，当且仅当a·＝等号成立，所以()2＋2＋1≥9，即()2＋2－8≥0，得≥2或≤－4(舍)，所以a≥4，即a的最小值为4.答案：C10．设a、b是正实数，以下不等式①>；②a>

7、a－b

8、－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋>2恒成立的序号为(　　)A．①③B．①④C．②③D．②④解析：∵a、b是正实数，∴①a＋b≥2⇒1≥⇒≥.当且仅当a＝b时取等号，∴①不恒成立；②a＋b>

9、a－b

10、⇒a>

11、a－b

12、－b恒成立；③a2＋b2－4ab＋3b2＝(a－2b)2

13、≥0，当a＝2b时，取等号，∴③不恒成立；④ab＋≥2＝2>2恒成立．答案：D11.若a是－b与＋b的等比中项，则的最大值为(　　)A.B．1C.D.解析：∵a是－b与＋b的等比中项，∴a2＝2－b2⇒a2＋b2＝2.根据基本不等式知≤≤＝1.即的最大值为1.答案：B12．若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时取等号．利用以上结论，函数f(x)＝＋(x∈(0，))取得最小值时x的值为(　　)A．1B.C．2D.解析：由＋≥得，f(x)＝＋≥＝25.当且仅当＝时取等号，即当x＝时f(x)取得最小值25.答案：B二、填空题：13．点(3,

14、1)和(－