由无理数发现对比东西方数学差异

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1、从无理数发现看东西方数学差异华中科技大学管理学院管理科学与工程M200973401杨婉摘要：从东西对处理无理数的发现这一事件的不同方式出发，由第一次数学危机对东西方数学产生了不同的影响。东西方两种不同的处理方式源于东西方不同的数学思维方式，分析了不同数学思维方式背后的深层原因。关键词：无理数第一次数学危机毕达哥拉斯不可公度比古代的希腊和中国,很早就发现了无理数。然而东西方却通过不同的途径来认识和发展无理数的理论，从而导致了东西方数学发展的不同方向。希腊人着眼于几何量的长度关系，从线段不可公度的几何角度入手，用逻辑方法进行探

2、讨；中国人着重满足实际应用的数的运算，从开方不尽的计算过程入手，通过计算方式来认识并建立其法则。一、无理数在古希腊的发现及其影响公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派认为：“万物皆是数”，也就是一切现象都可以用有理数去描述，数学之美在于有理数能解释一切自然现象。“宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比”，在几何上这相当于说：对于任何两条给定的线段，总能找到某第三条线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。希腊人称这样两条给定线段为“可公度量”。然而，事实并非如此，学派中有人问毕达哥拉斯，边长

3、为1的正方形的对角线，能不能用整数和整数之比来表示呢？这个问题引起了学派成员的讨论，有位学生名叫希帕索斯，出于无聊，他试图找出根号2的等价分数，最终他认识到根本不存在这个分数，也就是说根号2是无理数，希帕索斯对这发现，喜出望外，但是他的老师毕达哥拉斯却非常不高兴，因为毕达哥拉斯已经用有理数解释了天地万物，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌，无理数的存在会引起信徒们对毕达哥拉斯信念的怀疑，将动摇他和一批领导者在学术界的统治地位。然而，毕达哥拉斯始终不愿承认自己的错误，却又无法经由逻辑推理推翻希帕索斯的论证

4、。使他终身蒙羞的是，他竟然判决将希帕索斯淹死，希帕索斯为真理而献出了宝贵的生命。由于毕氏学派关于比例定义假定任何两个同类量可通约，比例理论中的所有命题都局限在可通约的量上，因而他们关于相似形的一般理论就失效了。毕氏学派的成员泰奥多勒斯发现，面积等于3、5、6、17…的正方形的边与单位正方形的边也不可通约，并对每一种情况都单独予以证明。希腊数学中出现的这一逻辑困难，被称为数学史上的“第一次数学危机”。危机的解决大约在公元前370年,才华横溢的希腊数学家毕达哥拉斯的学生阿契塔和欧多克索斯以及柏拉图给出两个相等的定义从而消除了这

5、次危机[1]。这次危机使人们认识到直观、经验乃至实验都不是绝对可靠的(例如用任何实验都不能得出一切量均可用有理数表示这个结果)，今后必须依靠证明用理性思维思考自然界。此外，它使古希腊数学研究的重点由算术转向几何，打破了在这之前毕达哥拉斯学派把数和几何问题等同起来的看法，即几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及整数的比来表示，反之数却可以由几何量表示出来，可以说这次发现对古希腊的数学观点有极大的冲击，整数的尊崇地位受到了挑战。而且这次危机使古希腊数学研究方法由计算转向推理，促使公理方法的产生，从此希腊人开始由“自

6、明的”公理出发，经过演绎推理而建立起几何学体系[2]。二、无理数在中国的发现及其影响中国古代在处理开方问题时，不可避免地碰到了无理根数。中国早期的开方术见于刘徽的《九章算术》少广、勾股两章，起源于长度的测度。已知面积求正方形边长；已知体积求立方体棱长；已知圆面积求圆的直径；已知球体积求球的直径或直角三角形勾、股、弦互求。《九章算术》“少广”章的开(平)方术有“若开之不尽者，为不可开，当以面命之”，“令不加借算而命分，则常微少；其加借算而命分，则又微多。其数不可得而定。……故惟以面命之，为不失耳”，这说明刘徽认识到“加不加借

7、算命分”都得到的不是精确值，只有用被开方数的方根表示才是精确的，接着他在“开方术注”中提出一种更为精确的表示方根近似值的方法，即求微数法：“不以面命之，加定法如前，求其微数。微数无名者以为分子，其一退以十为母，其二退以百为母。退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之”，就是用10进制小数来无限逼近无理数[3]。中算学家没有像希腊人那样在发现无理数时出现逻辑上的困难，又能顺利地将有理数运算规则推广到无理数，因此把数学向前推进的同时，并没有深究无理数与有理数实质上的不同。由于并没有经历过西方的数学危机革命，中国的数学仍

8、停留在“算术”阶段，在筹算开平方和开立方的基础上，我国从11世纪开始，逐渐摸索到数值解高次方程的一般规律。北宋数学家贾宪，在前人的基础上，发明了开任意高次幂的“增乘开方法”，它是我国古代数学史上一项杰出创造，是一个非常有效和高度机械化的算法，公元1819年英国数学家霍纳才得出同样的算法。贾宪的“增乘开方