简单的线性规划教案一

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1、简单的线性规划教案一【教学目标】1.知识与技能:使学生了解二元一次不等式表示平面区域;了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;了解线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题;2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力;3.情态与价值:培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力。【教学重点】用图解法解决简单的线性规划问题【教学难点】准确求得线性规划问题的最优解【教学过程】1.课题导入[复习提问]1、二元一次不等式在平面

2、直角坐标系中表示什么图形?2、怎样画二元一次不等式(组)所表示的平面区域?应注意哪些事项?3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。2.讲授新课在现实生产、生活中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题:引例:某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天8h计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?(1)用不等式组表示问题中的限制条件:设甲、乙两种产品分别生产x、y件,又已知条件可

3、得二元一次不等式组:……………………………………………………………….(1)(2)画出不等式组所表示的平面区域:如图,图中的阴影部分的整点(坐标为整数的点)就代表所有可能的日生产安排。(3)提出新问题:进一步,若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?(4)尝试解答:设生产甲产品x件,乙产品y件时,工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样,上述问题就转化为:当x,y满足不等式(1)并且为非负整数时,z的最大值是多少?把z=2x+3y变形为,这是斜率为,在y轴上的截距为的直线。当z变化时,可以得到一族互相平行的直线,如图,由于

4、这些直线的斜率是确定的,因此只要给定一个点,(例如(1,2)),就能确定一条直线(),这说明,截距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到,直线与不等式组(1)的区域的交点满足不等式组(1),而且当截距最大时,z取得最大值。因此,问题可以转化为当直线与不等式组(1)确定的平面区域有公共点时,在区域内找一个点P,使直线经过点P时截距最大。(5)获得结果:由上图可以看出,当实现金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M(4,2)时,截距的值最大,最大值为,这时2x+3y=14.所以,每天生产甲产品4件,乙产品2件时,工厂可获得最大利润14万元。2、线性规划的有关

5、概念:①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量x、y的约束条件,这组约束条件都是关于x、y的一次不等式,故又称线性约束条件.②线性目标函数:关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,叫线性目标函数.③线性规划问题:一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.④可行解、可行域和最优解:满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.1、变换条件,加深理解探究:课本第88页的探究活动(1)在上述问题中,

6、如果生产一件甲产品获利3万元,每生产一件乙产品获利2万元,有应当如何安排生产才能获得最大利润?在换几组数据试试。(2)有上述过程,你能得出最优解与可行域之间的关系吗?3.随堂练习1.请同学们结合课本P91练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题.(1)求z=2x+y的最大值,使式中的x、y满足约束条件解:不等式组表示的平面区域如图所示:当x=0,y=0时,z=2x+y=0点(0,0)在直线:2x+y=0上.作一组与直线平行的直线:2x+y=t,t∈R.可知,在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中,以经过点A(2,-1)的直线所对应的t最大.所以zma

7、x=2×2-1=3.(2)求z=3x+5y的最大值和最小值,使式中的x、y满足约束条件解:不等式组所表示的平面区域如图所示:从图示可知,直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时,以经过点(-2,-1)的直线所对应的t最小,以经过点()的直线所对应的t最大.所以zmin=3×(-2)+5×(-1)=-11.zmax=3×+5×=144.课时小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤:(1)寻找线性约束条件,线性目标函数;(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;(3)在可行域内求目标函数的最优解5.作业课本第93页习题[A]组的第2题.

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